Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 209

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

биномиальной кривой при CS = 2CV. Как показано в главе I, урав­

нение этой кривой имеет вид

Р (хг, а; т) = - ± - •

е

^

Х‘ х[~ х-

 

 

(5.20)

Следуя изложенному выше порядку, имеем

 

 

 

 

In P{Xi\ а ; 7) = —т In &+Т In 7 — In Г (7) —

J- .xy-f- 7 1пл:г — Inx h (5.21)

В таком случае функция правдоподобия

(5.18)

будет иметь вид

п

 

 

п

 

п

 

 

п

 

 

 

Л = 2 1п(л:ь а > 7 ) = - 2 7 1 п а + 2 т 1 п т - 2 > Г ( Т) -

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

Соответственно

уравнение

правдоподобия

 

применительно

к оценке параметра а запишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

d.L

-7 2

4

V

7

Xi

п

 

 

 

 

 

da

' jLi

а2

U‘

 

 

 

 

И, следовательно,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

у

1п

 

 

 

 

 

 

 

 

1

а2

x i—

а ’

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 V Л'; =

П ,

 

 

 

 

 

(5.22)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.23)

Из (5.23) следует, что наиболее

эффективным

измерителем

для оценки параметра а биномиальной кривой при

CS — 2CV явля­

ется среднее арифметическое значение статистического ряда.

Для оценки

параметра у уравнение

правдоподобия

запишем

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

 

 

 

2

a

2

*

In x t= 0 ,

2 l n « + 2 ( In7 + 1) - 2 ^ b 1^

jmmi

 

1

1

1

 

 

1

‘

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-гс1па+/г(1пт+ 1 ) - л

 

 

—

2 In*,.

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

268

Учитывая равенство (5.22), получаем

4Г(у)

2

{axi

■In а.

(5.24)

— In у=

п

dy

1

 

 

Выражение, стоящее в правой части равенства (5.24), можно представить в виде

П

 

П

 

 

 

2 in*,

 

1

—2 1па

2

1п——

1

1па=

1

1

а

п

 

п

 

 

 

 

 

 

Таким образом, окончательно имеем

- й - 2 1 п - Т - = - ^ - 1 п Г ( т ) - 1 п Т.

(5.25)

Из (5.25) следует, что наиболее эффективным измерителем для оценки параметра у биномиальной кривой при Ca = 2Cv является

выборочная оценка среднего значения логарифмов ряда модульных коэффициентов рассматриваемой величины.П

Между величиной измерителя Х= —

и коэффициен-

1

х

том вариации С„ существует функциональная связь, определяемая

уравнением (5.25), поскольку параметр у = - ^ - .

 

 

Значения

величины

 

 

ОV

в зависимости

коэффициента вариации

 

 

П

 

 

 

 

от измерителя1 Я=—- ^ l g ——, отвечающие уравнению

(5.25),

 

 

 

*

 

 

[2 2], ко­

представлены в той части таблицы, приведенной в работе

торая соответствует условию CS = 2CV.

методом

наибольшего

В соответствии со схемой

построения

правдоподобия

оценок

параметров, изложенной

применительно

к нормальному и биномиальному (при CS=2C„) законам распреде­

ления, рассмотрим (следуя

разработкам

Е. Г. Блохинова [22])

прием построения таких оценок для условий трехпараметрического

гамма-распределения. Плотность

вероятностей этого распределе­

ния записывается так:

 

 

„7/6-1 X

 

Р(х, х 0, у,

Ь)= Г (т + 6)

Т/6

1

 

 

 

 

 

 

г (у)

 

1Ь | г (у) х у ь

 

 

Х ехр ( —

г (у + Ь)

■ У 11/ 6)

(5.26)

 

 

Г (у)

*0 J Г

 

 

 

 

1 При практическом

использовании

измерителя I

применяются десятичные

логарифмы.

 

 

 

 

 

2 6 9

В этом уравнении х0— среднее значение; у и b — параметры, свя­

занные с коэффициентом изменчивости С„ и коэффициентом асим­ метрии Cs следующими уравнениями:

^

Г

Г (-г) Г (Т +

2Ъ)

,1»/,

 

(5.27)

 

""“"l

 

г2 ( 7 + Ь)

Ч

■

 

 

 

Г2 (7) Г (Т +

Щ

,

Г (7) Г (7 +

26) , n

 

ТЧТ + Ь)

 

 

ТЦч + b)

(5.28)

 

Г

Г (-г) Г (7 +

26)

,+ /*

 

 

I

 

Г2(7 +

6)

‘J

 

 

где Г (у), Г(у + Ь) и т. д .—-символы гамма-функции соответствую­ щих аргументов.

Как видно из уравнения (5.26), рассматриваемое распределе­ ние характеризуется тремя параметрами: средним значением Хо,

коэффициентом вариации С„ и коэффициентом асимметрии Cs. Для этих параметров и требуется установить оценки наибольшего прав­

доподобия.

Образуем функцию правдоподобия (5.14), для чего предвари­ тельно найдем логарифмы величин Р, (х{, х0, у, Ь)

\пР{хь х 0,

у, b)=(-cf— l) ln - g —

г г (7 + г»)

XI 1*/* I

L Г (Т)

Хо \

I

 

 

 

+ “Г 1п Г(Г ( У ) - ln I Ь | - 1п Г (т) - In х 0.

В таком случае функция правдоподобия (в логарифмической форме) примет вид

 

П

п

 

 

In

In P(xi)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4 + In

- in I * I - 1" г

In

(5.29)

Для последующего анализа удобнее иметь дело со средним гео­ метрическим значением плотности вероятностей рассматриваемой выборки, т. е. с величиной L' = (L)lln, где п — объем выборки. Это

преобразование функции правдоподобия не вносит принципиаль­ ного изменения в искомые оценки параметров. Учитывая указанно^ замечание, уравнение (5.29) можно записать в виде

+ 1 Г 1п Г Г ( У * — In 1Ь I ■- InГ (т) — 1п х0.

(5.30)

Для получения зависимостей, позволяющих определить по ме­ тоду наибольшего правдоподобия интересующие нас параметры (хо, у, Ь), продифференцируем выражение (5.30) последовательно

270

по л'о, y и Ь, т. е. найдем логарифмические

производные функции

„

г/ д \ п ь '

a in l '

a in v

„

правдоподобия

L : — ----- , ---- г----- и — ^-----. Приравнивая нулю

 

охо

оу

Ои

можно получить сле­

выражение логарифмических

производных,

дующую систему уравнений:

 

 

 

Г(7 + 6) 1

Г (7) J

72+1°

Г(Т + ^)

— b -jfj- InГ (т)=0,

(5.31)

г (7)

 

г (7 + Ъ) У / ь ,

ь = О,

 

 

г (7)

j :

 

где

Решение системы

(5.31) относительно Хо, у и b для

данной вы­

борки Xi, Х 2, . . ., Х п ,

по которой ВЫЧИСЛЯЮТСЯ статистики Я.1, %2 и Хз,

дает наилучшие оценки этих параметров.

оценки

параметров

Подставляя в зависимости (5.27) и (5.28)

у и Ь, вычисленные с использованием системы

уравнений

(5.31),

получаем наилучшие оценки коэффициента вариации

(Cv)

и коэф­

фициента асимметрии (Cs). Ввиду того что рассмотренный прием оценки параметров Хо, Cv и Са хотя и является в принципиальном

отношении вполне строгим, однако приводит к технически трудно разрешаемым трансцендентным уравнениям (5.31), ограничимся приведенными сведениями по общей схеме решения, не вдаваясь в дальнейшие детали математических образований. Указанное тем более целесообразно, что Е. Г. Блохинов [22] разработал на прин­ ципе наибольшего правдоподобия упрощенные способы оценки па­ раметров трехпараметрического гамма-распределения. Точность оценок, получаемая упрощенным методом, мало отличается от оце­

нок по полной схеме.

Блохинов разработал

в двух вариантах:

Упрощенный способ

а)

для независимого и одновременного

определения всех трех

параметров (х0, Cv, Cs)

по некоторым статистикам, вычисляемым

по ряду наблюдений;

 

 

271

Смотрите также файлы