Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Очевидно, что математическое ожидание случайной функции не исчерпывает всех возможных колебаний ее, как математическое ожидание случайной величины недостаточно для ее полного опи­ сания. Поэтому в качестве характеристики мер рассеивания ис­ пользуется дисперсия случайной функции Dx(t), представляющая собой такую функцию, значение которой для каждого t равно дис­ персии случайной величины x(t).

x ( t )

На рис. 7.2 приведены две случайные функции с одинаковыми математическими ожиданиями, но с различными дисперсиями. ,

x ( t )

y(t)

Рис. 7.2. Случайные функции x(t) и y(t) с одинаковыми математиче­ скими ожиданиями m(t) и различными дисперсиями D(t).

Дисперсия случайной функции характеризует рассеивание воз­ можных реализаций относительно математического ожидания слу­ чайной функции

Аналогичным образом могут рассматриваться и другие харак­ теристики случайных функций более высокого порядка (например, функция асимметричности случайных функций).

359

Отмеченные характеристики случайных функций все же явля­ ются недостаточными, в чем легко убедиться, рассматривая рис. 7.3: математическое ожидание и дисперсия случайной функции тожде­ ственно равны, в то время как структуры этих функций совершенно различны.

Для учета этих особенностей случайных функций используется автокорреляционная функция, характеризующая тесноту линейной зависимости между двумя сечениями h и t2 случайной функции. Очевидно, на рис. 7.3 а автокорреляционная функция быстрее за­ тухает, чем на рис. 7.3 б.

Рис. 7.3. Случайные функции с одинаковыми m(t) и D(t), но с различ­ ными автокорреляционными функциями.

Чтобы автоковариационные функции сделать сравнимыми для рядов, образованных из существенно различных по размеру вели­ чин (например, из расходов воды малых и больших рек), их обычно нормируют

описании случайной функции отпадает необходимость в самостоя­ тельном учете дисперсии.

Таким образом, основными характеристиками случайной функ­ ции является математическое ожидание и автокорреляционная функция. Случайные функции подразделяются на стационарные и нестационарные.

360

Многие гидрологические процессы протекают во времени одно­ родно и формируются под воздействием постоянного комплекса ус­ ловий. Реализации подобных процессов колеблются вокруг неко­ торого постоянного во времени среднего значения, не обнаружи­ вая при этом ни изменений. дисперсий, ни изменений структуры этих колебаний с течением времени. Примером подобных реали-

Рис. 7.4. Стационарная случайная функция.

заций могут служить турбулентные пульсации скорости устано­ вившегося (стационарного) потока реки, измеренные в разных точ­ ках живого сечения (рис. 7.4).

Статистические характеристики стационарных процессов не из­ меняются на различных отрезках времени t. В отличие от стацио­

нарных процессов нестационарным процессам свойственно изме­ нять во времени математические ожидания или автокорреляцион­ ную функцию, или и то и другое одновременно (рис. 7.5).

Приведем несколько примеров нестационарных процессов из гидрологии. Речной сток, формирующийся с нескольких водосбо­ ров-аналогов, является типичным нестационарным процессом с из­ меняющимся во времени математическим ожиданием и автокор­ реляционной функцией. Нестационарным процессом является вет­ ровое волнение в период его интенсивного развития или затухания. Пульсация скорости потока в период подъема или спада паводка представляет собой также нестационарный процесс.

Иногда нестационарные процессы могут быть приведены к ста­ ционарному виду. Действительно, если нестационарность случайной

361

функции вызвана изменяющимся во времени математическим ожи. данием, то такой процесс легко может быть приведен к стационар­ ному виду. Для этой цели используются известные преобразования: типа

приводящее к математическому ожиданию, равному нулю, либо типа

с математическим ожиданием, равным единице.

В расчетах речного стока чаще используется второе преобразо­ вание, представляющее собой выражение исходной величины в форме модульных коэффициентов. Кроме того, многие нестацио­ нарные процессы могут рассматриваться как приближенно стацио­ нарные на ограниченных отрезках времени. Например, речной сток в течение зимних месяцев при отсутствии оттепелей во мно­ гих случаях может рассматриваться как условно стационарный (квазистационарный) процесс.

Таким образом, нестационарные случайные функции являются наиболее общим понятием, включающим как частный случай ста­ ционарные случайные функции.

В гидрологии обычно рассматриваются случайные функции, за­ данные дискретным рядом равноотстоящих друг от друга точек (ti, t2, ti, . . ., in)- Применительно к такой ситуации случайная функция представляется в виде л'(ti), где t = l, 2, .... п. Примером

подобного выражения случайной функции может служить речной сток в форме средних ежедневных, месячных или годовых расхо­ дов воды. Очевидно, что последовательности ежедневных и месяч­ ных расходов воды являются нестационарными, так как при этом проявляется внутригодовой цикл водности. Средние годовые рас­ ходы воды могут рассматриваться как стационарные, ибо внутри­ годовые закономерности речного стока в данном случае исключа­ ются.

Простейший вид случайной последовательности — ряд незави­ симых случайных величин. Ряды таких величин имеют автокорре­ ляционную функцию R(tu t2)=0 при t i ^ t 2 и R(tu t2) = 1 при U = t2.

Случайные последовательности, в которых R(ti, t2) фО при ti=£ ■ф12, называются цепями Маркова. Случайная последовательность x(ti) называется простой цепью Маркова, когда условный закон распределения каждого члена этой последовательности Xi зависит лишь от предыдущего члена Xi-1. В таких последовательностях

имеет место автокорреляция лишь между смежными членами ряда (гх , хм ) =г(т) прит=1. Примерами таких последовательностей

являются многолетние колебания годовых объемов стока, годовых осадков и некоторых других характеристик гидрологического ре­ жима. Часто простую цепь Маркова называют марковским слу­ чайным процессом с дискретным временем. Простая цепь Мар­

362

кова нашла широкое применение при описании многолетних ко­ лебаний речного стока для целей многолетнего регулирования стока рек.

Обобщением понятия простой цепи Маркова является сложная цепь Маркова, когда условная кривая распределения последую­ щего члена Xi зависит от k предыдущих Хг-ь х»_г, .. Хг-ь■В связи

с этим в такой последовательности имеет место автокорреляция между членами последовательности при любом %<k.

Марковские случайные процессы обобщаются понятием случай­ ной функции с непрерывным аргументом, в которой рассматрива­ ются лишь значения функции (при t\, t2, .. ., tn), равноотстоящие друг от друга на промежуток At.

Рис. 7.6. Эргодическая y(t) и геэргодическая x(t) стационарные случайные функции.

Стационарные случайные функции подразделяются на эргодические и не эргодические, так как стационарные случайные функ­ ции протекают во времени однородно, то можно предположить, что одна реализация такого процесса за достаточно большой промежу­ ток времени может характеризовать основные характеристики этого процесса. Но это справедливо не для всех стационарных слу­ чайных функций.

Приведем два примера (рис. 7.6). Стационарные случайные функции на рис. 7.6 имеют одно и то же математическое ожидание и один и тот же размах колебаний. Однако процесс y(t) отлича­ ется от x(t). Каждая реализация y(t) за достаточно большой про­ межуток времени Т будет характеризовать его столь же хорошо,

как и много реализаций, но соответственно меньшей продолжи­ тельности t. В этом случае математическое ожидание и дисперсия случайного процесса y(t), полученные по одной его реализации продолжительностью Т, будут равны математическому ожиданию

и дисперсии, полученным по многим реализациям за меньшее время t. Такие стационарные процессы обладают эргодическим

свойством. В отличие от эргодических стационарных случайных функций процесс x(t), представленный на рис. 7.6, не обладает

свойством эргодичности. Действительно, и математическое ожида­ ние и дисперсия этого процесса, полученная по каждой его

36 3

реализации продолжительностью Т, отличаются между собой и от

этих характеристик процесса в целом.

Реализации колебаний речного стока в различных пунктах на­ блюдений одной реки или на разных реках в общем случае не об­ ладают свойством эргодичности, так как и математические ожи­ дания и дисперсии, полученные по каждой реализации, различны. Действительно, норма годового стока северных рек, как правило, больше нормы стока южных рек, в то время как дисперсия много­ летних колебаний рек, расположенных в северных районах, обычно меньше, чем в южных районах. Однако рассматривая речной сток

х

ции речного стока, обладающие свойствами эргодичности по отно­

шению к математическому ожиданию (/г = 1). Если же исходные данные речного стока преобразовать через функцию вида

ф ( А — * V ) ~ т*

<7Г

то подобные преобразованные реализации речного стока будут об­ ладать эргодическим свойством как по отношению к математиче­

скому ожиданию, так и по отношению к дисперсии (Ф = 0; ох=

Используя это свойство эргодичности и принимая как исходное положение отсутствие корреляционной связи между величинами годового стока удаленных друг от друга рек, Г. П. Калинин [58] сравнил кривые распределения параметра Ф годового стока за 1948, 1949, 1950 гг., полученные по совокупности большого числа рек (пространственная кривая), с кривыми распределения пара­ метра Ф, полученными по нескольким реализациям годового стока за достаточно длительный период времени в нескольких пунктах наблюдений (временная кривая обеспеченности). Оказалось, что информация о параметре Ф годового стока, полученная за один год по большому числу пунктов наблюдений и представленная в виде кривой обеспеченности, отражает колебания параметра Ф годового стока в одном или нескольких пунктах наблюдений за многолетний период. В этом, вообще говоря, ничего удивительного

различия в колебаниях речного стока по средним величинам и

коэффициентам вариации lC v= -? rr|, оставляя различия лишь

'х ’

впараметре (Cs), который для годового стока приблизительно равен CS = 2CV-

Однако рассматривая колебания речного стока, выраженные, например, в модулях стока (л/с-км2), нельзя полагать, что реали­

364