Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

либо

2I

итеоретической дисперсии, определяемой по выражению (6.17)

или (6.18).

На рис. 6.6 представлена пространственная корреляционная функция годового стока рек бассейна верхнего Днепра, включая реки Сож и Березину. Уравнение регрессии r = f(L) получено по

средним значениям коэффициентов парной корреляции для каждой градации расстояний (AL = 50 км). Эти точки обозначены крести­ ками.

Пространственная корреляционная функция рассчитана по 991 парному коэффициенту корреляции, полученным по 45 рядам на­ блюдений. Среднее число совместных лет наблюдений при расчете парных коэффициентов корреляции составило 20,5 года.

Оценка однородности пространственной корреляционной функ­ ции годового стока рек бассейна верхнего Днепра осуществлена с использованием всех перечисленных выше критериев однород­ ности. Эта оценка показала, что рассматриваемая пространствен­ ная корреляционная функция однородна. Следовательно, откло­ нения парных коэффициентов корреляции от линии регрессии г =

ошибок измерений рассматриваемой гидрологической характери­ стики в долях от естественного стандарта (6)

ного стандартного изменения величины годового стока.

В отношении приведенной рекомендации следует иметь в виду, что установление величины г(0) на основе экстраполяции прост­ ранственной корреляционной функции является операцией весьма условной, что может привести к неоцениваемым ошибкам в опре­ делении величины б. Использование однородной пространственной корреляционной функции в целях пространственной интерполяции гидрологических характеристик сводится к определению матрицы парных коэффициентов корреляции между значениями элемента в интерполируемую точку и данными наблюдений в ближайших пунктах. Зная пространственную корреляционную функцию и рас­ стояние между пунктами наблюдений, включая точку интерполяции,

легко определить матрицу парных коэффициентов корреляции, которая входит в расчет множественного линейного уравнения регрессии. По уравнению регрессии и осуществляется интерполя­ ция изучаемого элемента в любую точку. В таком случае ошибка уравнения регрессии и представляет собой ошибку интерполяции.

Заметим, что подобное решение легко осуществляется в слу­ чае однородного и изотропного поля. При неоднородности по тер­ ритории средних значений часто пользуются преобразованием вида

X i — x , или Х г / х . При неоднородности же средних квадратических

отклонений в уравнение множественной линейной регрессии сле­ дует вводить интерполируемые значения этого параметра, конечно, если эта интерполяция статистически и физически обоснована.

2 3 *

глава VII

анализ

временных гидрологических рядов

В предыдущих главах различные гидрологические характери­ стики рассматривались как случайные величины, т. е. предусмат­ ривалось, что появление каждой гидрологической переменной во времени или пространстве осуществляется по принципу случайного отбора. На этом основании со случайными переменными осуществ­ лялись различные математические процедуры, изложенные в пре­ дыдущих главах, при которых порядок появления случайной пере­ менной не принимался во внимание. В данной же главе рассматри­ ваются методы анализа гидрологических переменных с учетом их временного или пространственного хода. Эти методы предназна­ чены для определения закономерностей расположения гидрологи­ ческих данных во времени их наступления.

В главе V в связи с изучением оценок параметров распределе­ ния указывалось на то, что многим гидрологическим рядам свой­ ственна корреляция между смежными членами ряда, которая ока­ зывает существенное влияние на распределение выборочных оценок параметров. Для выяснения в более общем виде закономерностей, свойственных временным совокупностям гидрологических наблю­ дений, используются методы корреляционного и спектрального анализов, сглаживания гидрологических данных (математическая фильтрация), методы разложения рядов наблюденных величин на гармонические составляющие и некоторые другие. Эти методы, из­ лагаемые в теории случайных функций, находят все большее при­ менение в гидрологических исследованиях.

Из числа гидрологических задач укажем лишь некоторые: изу­ чение вероятностных характеристик волнения, анализ структуры многолетних колебаний различных гидрологических характеристик, изучение турбулентных пульсаций скоростей, давлений и других параметров водного потока, экстраполяция временных рядов с це­ лью прогнозирования различных геофизических процессов и мн. др.

356

§1

основные понятия теории случайных функций

Понятие случайной функции представляет собой обобщение понятия случайной величины. Действительно, случайная величина в процессе опыта принимает одно, заранее неизвестное значение. Такие случайные величины формируются, если комплекс условий, порождающий их, остается постоянным. В гидрологических же ис­ следованиях зачастую этот комплекс условий изменяется, что при­ водит к изменению случайной величины в процессе опытов. Подоб­ ные случайные величины, изменяющиеся во времени их наступле­ ния, называются случайными функциями, которые представляют собой случайные величины в динамике их развития.

Рассмотрим, например, речной сток в течение одного года. Под комплексом условий, формирующим речной сток, будем понимать факторы, его обусловливающие. Совершенно очевидно, что фак­ торы, действующие на речной сток в зимний, весенний и летний периоды, будут различны. Эти различия приводят к тому, что гид­ рограф речного стока, представляя собой одну реализацию слу­ чайной функции, имеет определенные закономерности во времени. Далее предположим, что комплекс условий речного стока изменя­ ется во времени одинаковым образом от одного года к другому. Тогда таких реализаций случайной функции может быть доста­ точно много. Совокупность этих реализаций образует случайную функцию. Сечение этих реализаций при каждом фиксированном значении аргумента (в данном случае календарный день) дает случайную величину, имеющую различные значения в этом сече­ нии и изменяющуюся (применительно к рассматриваемому при­ меру) во времени.

Исходя из данного примера, можно дать более общее опреде­ ление случайной функции. Случайной функцией называется такая

функция, значение которой при каждом значении аргумента пред­ ставляет собой случайную величину. Случайные функции времени иногда называют случайными процессами. В гидрологических ис­

следованиях могут встретиться случайные функции других аргу­ ментов. Так, поверхность ветрового волнения в фиксированный мо­ мент времени представляет собой реализацию случайной функции координат (широты и долготы), а вектор скорости турбулентного потока воды — случайную функцию четырех аргументов: три коор­ динаты точки пространства и времени. Случайные функции про­ странства обычно называют случайными полями. Так, карта мо­

дулей стока за какой-либо конкретный год представляет собой одну реализацию случайного поля годового стока, а множество подобных карт за многолетний период характеризует в целом слу­ чайное поле, каждая точка (широта и долгота) которого есть слу­ чайная величина.

357

Случайная величина наиболее полно описывается законом ее распределения Р{х). Аналогично этому наиболее полное описание случайной функции x(t), представленной ее реализациями Xi (t), Xz(t), .. ., xn(t) при n-> oo, может быть осуществлено заданием законов распределения при каждом t. Тогда закон распределения случайной функции может быть обозначен через Р(х, t). Но и та­

кое задание случайной функции является недостаточным, так как оно отражает лишь одномерные функции при фиксированном моменте времени t и не учитывает двумерные функции распреде­

ления между случайными величинами, удаленными на отрезок вре­ мени т (между ti и t2). Такое описание случайной функции Р(х,, х2, tu tz), являясь более полным по сравнению с одномерной функ­ цией распределения Р(х, t) все же не исчерпывает полностью ее характеристику. Самое полное описание случайной функции x(t)

может быть осуществлено лишь через бесконечное множество рас­ пределений возрастающих порядков: Р(х, t), Р(хi, х2, ti, t2), Р(хi, xz, х3, ti, ti, h) и т. д. Однако и подобное задание случайной функции

является исчерпывающим лишь для некоторого класса случайных функций, к числу которых относятся нормально распределенные случайные функции, все совместные распределения которых нор­ мальные. Учитывая математическую сложность подобного вероят­ ностного описания случайной функции, в практических приложе­ ниях обычно используются некоторые характеристики случайных функций, к числу которых относится математическое ожидание случайной функции, дисперсия случайной функции и корреляци­ онная (автокорреляционная) функция. С помощью отмеченных числовых характеристик обычно решаются наиболее просто мно­ гие задачи гидрологических исследований.

Если при рассмотрении случайных величин в качестве пара­ метров используются числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, асимметрия, коэффициент корреляции и др.), то при рассмотрении случайной функции эти числовые характери­ стики обобщаются на функции.

Так, математическое ожидание случайной функции может быть определено следующим образом. Фиксируя случайную функцию в момент времени tu получаем случайную величину с математи­ ческим ожиданием mx(t.\). Определяя подобные математические ожидания случайных величин при всех возможных значениях t,

получаем математическое ожидание случайной функции

представляющее собой такую функцию mx(t), которая при каждом значении t равна математическому ожиданию случайной вели­ чины x{t).

На рис. 7.1 представлены тонкими линиями реализации случай­ ной функции (гидрографы стока), а жирной линией ее математи­ ческое ожидание. На рисунке видно, что математическое ожида­ ние случайной функции есть некоторая средняя кривая из всех возможных реализаций случайной функции.

358