Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

зации этого процесса в достаточно удаленных пунктах наблюде­ ний с различными условиями формирования представляют собой эргодические случайные функции. Лишь выбирая реки с анало­ гичными условиями формирования стока, можно рассчитывать, что такие реализации будут обладать эргодическим свойством. На этом основании часто по многолетним колебаниям, например, годового стока в каком-либо створе наблюдений, судят о характе­ ристиках случайной стационарной функции в другом пункте.

Наиболее часто об эргодичности стационарной случайной функ­ ции судят, исходя из физических соображений. Действительно, нет оснований считать, что пульсация скорости течения воды при уста­ новившемся режиме в разных точках живого сечения будет пред­ ставлять собой реализации эргодического стационарного процесса, так как и средние и дисперсии скоростей будут различны по каж­ дой реализации. Если же мы будем рассматривать пульсацию скорости в точках живого сечения потока с равными средними ско­ ростями, то такие реализации будут обладать эргодическим свой­ ством по отношению к математическому ожиданию. Подобный физический анализ случайных гидрологических процессов всегда должен предшествовать математическому анализу свойств эргодич­ ности.

В качестве формального признака эргодичности стационарной случайной функции может служить затухание автокорреляционной функции до нуля. Поэтому простая цепь Маркова, автокорреля­ ционная функция которой R(x) = /?(1)т = /?^ при п —>- оо зату­

хает до нуля, представляет собой эргодическую последователь­ ность, или, как говорят, стационарную эргодическую случай­ ную функцию с дискретным временем. Если же автокорре­ ляционная функция при увеличении расстояния между двумя сече­ ниями t2t1 стремится к некоторой положительной или отрицатель­

ной величине, то такая функция не обладает эргодическим свойством.

В гидрологических исследованиях статистические характери­ стики эргодических стационарных случайных функций обычно определяются по одной реализации случайного процесса. Это свя­ зано с тем, что многие гидрологические процессы вообще не мо­ гут быть представлены многими реализациями. Действительно, трудно представить себе речной сток нескольких рек с совершенно одинаковыми условиями его формирования. Поэтому определение характеристик эргодической стационарной случайной функции рас­ смотрим на примере одной реализации.

Объем сведений эргодической стационарной случайной функ­ ции, заключенный в одной реализации продолжительностью Т,

сматривать одну реализацию эргодической стационарной случай­ ной функции продолжительностью Т. Оценка математического

3 6 5

ожидания такой функции (тх) может быть вычислена по выраже-

нию

Если случайная функция задана в дискретных точках, то выра­ жение (7.7) представляется в виде

где п — объем последовательности.

Автоковариационная функция, представляющая собой второй смешанный момент, зависит лишь от интервала сдвижки x = tt— t-i.

R{i)=M {\x{t) — mx\ [jc(^-t-т) — mjc]) =

Г - Т

Наконец, для стационарной эргодической случайной последо­ вательности объема п будем иметь

П—Т

(7Л1>

где Axi = Xi — mx^Xi — х, a i= 1, 2, ..., п.

В гидрологических расчетах обычно при описании стационар­

При т = 0 г(т)= 1, поскольку автоковариационная функция при т = 0 равняется дисперсии процесса R(0) =Dx= a2x.

Автокорреляционная функция стационарной случайной функ­ ции симметрична г(т) = г(—т) и является функцией лишь разно­ сти двух аргументов ii — h = x.

Автокорреляционная функция стационарной случайной функции при х-*- оо стремится к нулю

[/? (т)]т^.со= 0 .

366

Ненормированная автокорреляционная функция не превосходит по абсолютной величине дисперсию процесса

а нормированная автокорреляционная функция имеет пределы ко­ лебаний

ментом /, для которых необходимо рассчитать взаимную корреля­ ционную функцию

где Axi = Xi — тх, A«/, = */*— ту.

При нормировании взаимной корреляционной функции по дис­ персии имеем

В гидрологических исследованиях иногда используется струк­ турная функция D (т), которая однозначно связана с автоковариационной функцией R(т) отношением

Если стационарная функция задана в дискретных точках изме­ рения, то выражение (7.18) представится в виде

367

Помимо основных характеристик эргодической стационарной случайной функции (математическое ожидание и корреляционная функция), в гидрологических исследованиях часто используется функция спектральной плотности S(co).

Функция спектральной плотности эргодической стационарной случайной функции определяется из автокорреляционной функции с использованием преобразования Фурье

1во всех других случаях;

—весовая функция (например, весовая функция Хаминга с ве­

совыми коэффициентами 0,23; 0,54; 0,23); т = 0, 1, 2, ..., т ; —

число значений автокорреляционной функции, принятой для расчета спектра.

Весовая функция лт применяется для сглаживания ординат ав­ токорреляционной функции. Операция сглаживания эмпирической автокорреляционной функции улучшает оценку спектральной плот­ ности. Расчет спектральной плотности по эмпирическим данным без введения весовой функции иногда приводит к отрицательным зна­ чениям спектральной плотности, что противоречит физической ее сущности. Действительно, спектральная функция показывает вклад каждой гармоники эргодической стационарной случайной функции в общую дисперсию процесса. Поэтому этот вклад не может быть отрицательным, как не может быть отрицательной дисперсия про­ цесса.

Если при расчете спектральной функции используется нормиро­ ванная автокорреляционная функция г(т), то площадь спектраль­

ной функции равна единице. Если же применять ненормирован­ ную автокорреляционную функцию R(i), которую иногда называФт

автоковариационной функцией, то площадь спектральной функции равна дисперсии процесса.

Автокорреляционная функция и функция спектральной плот­ ности связаны между собой преобразованием Фурье, поэтому для задания стационарной случайной функции вполне достаточно знать одну из этих функций.

Иногда применяется взаимный спектральный анализ двух ста­ ционарных случайных функций x(t) и y(t) с одним аргументом t. Взаимный спектр двух процессов состоит из коспектра Со (ш) и квадратурного спектра Qh

368

Коспектр определяется по выражению

(7.22)

где L(x) — взаимная ковариационная функция двух процессов,

осредненная при сдвижках т и —т.

Квадратурный спектр определяется по формуле

(7.23)

где М(т) — разность взаимной ковариационной функции двух про­

цессов при т и —т, деленная на два.

Коспектр учитывает синхронные зависимости между двумя ста­ ционарными случайными функциями, а квадратурный спектр из­ меряет вклад различных гармоник в суммарную ковариацию.

Зная коспектр и квадратурный спектр двух случайных стацио­ нарных функций, легко определить относительную фазу гармоник в процессах x ( t ) и y ( t ):

(7.24)

В качестве меры связи между двумя стационарными процес­ сами x(t) и y(t) для различных периодов (частот) обычно исполь­

зуется когерентность, определяемая по формуле

(7.25)

Пределы изменения когерентности заключаются от нуля до еди­ ницы. Можно представить себе такие два процесса, в которых име­ ется прямая связь, допустим, для короткопериодичных колебаний и обратная для длиннопериодичных колебаний. В таком случае корреляционный анализ, оценивающий эту связь в целом, не выя­ вит ее, в то время как когерентность представит эти связи для различных частот.

Вывод приведенных зависимостей по корреляционному и спек­ тральному анализам эргодических стационарных случайных про­ цессов приводится в монографиях по теории случайных функций.

Обратим лишь внимание на то, что расчет этих характеристик по эмпирическим данным гидрологических наблюдений, как пра­ вило, ограниченной длительности, может привести к значительным погрешностям. Математический же аппарат оценок эмпирического корреляционного и спектрального анализов недостаточно разра­ ботан, особенно для процессов, отличных от нормальных.

Использование эмпирического корреляционного и спектрального анализов без оценки статистической надежности полученных ре­ зультатов расчета может привести к неправильным выводам; это