в значительной мере относится и к случаям применения некоррект ных способов оценки. Поэтому при изложении примеров использо вания эмпирического корреляционного и спектрального анализов в гидрологии будет акцентироваться внимание именно на оценку надежности полученных результатов расчета.
Расчеты по корреляционному и спектральному анализам обычно осуществляются на электронных вычислительных цифровых машинах ввиду огромного объема вычислительных работ.
Прежде чем перейти к гидрологическим примерам использова ния методов корреляционного и спектрального анализов, рассмот рим сглаживание и фильтрацию исходных данных наблюдений, тем более что сглаживание исходных данных наблюдений во мно гих случаях осуществляется до расчета корреляционных функций и функций спектральной плотности.
§2
методы сглаживания гидрологических рядов (на примере годового стока рек)
Наличие достаточно существенных случайных колебаний годо вого стока затрудняет выявление закономерностей их временного хода, выражающихся в форме длиннопериодичных циклов измене ния годового стока. Для выделения таких циклов издавна приме нялись способы сглаживания, или фильтрации, с использованием скользящей средней арифметической. Подобное сглаживание обычно осуществляется по формуле
Qi = ~y ~ |
2 |
Q/+*. |
ь- |
т- 1 |
(7.26) |
|
2 |
где Qi — сглаженные колебания годового стока; Qi — годовой сток (i= l, 2, 3, ..., л); п — число членов ряда; Т — интервал осред
нения.
Естественно, что чем больше период сглаживания, тем больше уменьшается амплитуда высокочастотных (малой продолжитель ности) колебаний и, следовательно, более четко могут быть пред ставлены колебания низких частот.
Однако, как показали исследования В. Г. Андреянова [1], при сглаживании по выражению (7.26) происходит сдвиг фаз осред-
ненных колебаний Qi по сравнению с исходным рядом Qi вплоть
до противоположного. Причем этот сдвиг фазовых колебаний зави сит как от периода сглаживания Т, так и от частотного спектра
исходного ряда.
В последнее время для исключения или во всяком случае умень шения смещений фаз осредненных величин годового стока по срав нению с наблюденными данными применяются другие способы сглаживания, или фильтрации. К их числу можно отнести способ последовательного парного осреднения членов ряда, при котором весовые коэффициенты симметрично убывают от центрального члена осреднения и представляют собой биномиальные коэффици енты:
-^"(Qi + Qi + i) |
—первая ступень; |
4 - (Q /+ 2Q/+i+ Q<+2) |
-вторая ступень; |
-g-(Q /+3Q /-H +3Q /+2 + Ql+3) |
-третья ступень; |
l^-(Qi+4Qi + i+ 6 Q I+2+ 4 Q (-+3-f Qi+i) |
-четвертая ступень; |
-32'(Qi+5Q; + I-i-1 0 Qi+ 2-b 10Q;-t-34"5Q/+4+Q(-)-5) — пятая ступень;
з!)(* 2)-&+з+
k ( k - \ ) ( k — 2) (k — 3) |
Qi+4 + • • •] —k- тая ступень. |
(7.27) |
4! |
Таким образом, отмеченная фильтрация выражается форму лами
k= Т + 1
Qi— ^ C*Q»+ a.
к~-г— 1
где
Л
2Tk l ( T - k ) \ ’
Qi — сглаженные колебания годового стока; Qi — годовой сток от t = l до i = n (п — число членов ряда); Т — интервал осреднения; Си — весовые коэффициенты.
Заметим, что сглаживание с использованием данного фильтра равносильно применению способа последовательного парного осреднения членов исходного ряда.
При сглаживании рядов годового стока по выражению (7.27) используется такая ступень осреднения k, при которой отклонения
годового стока каждого года от сглаженных величин «i = Qi — Qi
представляют собой некоррелированные во времени колебания. Это условие контролируется равенством
П
п 2 ( Q m - Q i ) 2
7 = — --------л------= 1 , |
|
(7.30) |
2 ( л - 1 ) 2 |
1 |
«1 |
|
|
i= |
|
|
|
поскольку Y = 1 — Г г , г + 1 - |
|
|
собой отсутствие кор |
Следовательно, условие (7.30) влечет за |
реляции между смежными членами ряда. Величину Q* назвали |
динамической средней. |
|
|
|
— это |
Отклонения годового стока от динамической средней а, |
случайные, некоррелированные колебания, |
распределенные, |
как |
правило, по нормальному закону и лишенные какой бы то ни было закономерности во времени. Полное отсутствие корреляции в ко лебаниях а,- следует из методики отмеченного расчленения и до
полнительно проверено на эмпирическом материале. Отсутствие же асимметрии в колебаниях а, следует из расчетов коэффици
ентов асимметрии по 22 рядам годового стока.
Результаты расчетов коэффициента асимметрии рядов Q, и агпредставлены в табл. 7.1.
Учитывая сравнительно большие погрешности в определении коэффициентов асимметрии, которые обусловлены ограниченной длительностью рядов наблюдений, смещение коэффициента асим метрии из положительной области для рядов Qi в область нулевых
значений для рядов а* осуществлено в среднем для всех рассмот ренных рек. Так, средний коэффициент асимметрии для рядов Q; оказался равным 0,46, а для рядов а,- — 0,05. В дополнение к этому были рассмотрены эмпирические кривые обеспеченности колебаний а,-, которые на клетчатке вероятностей нормального закона для Cs= 0 представлены прямыми линиями, что также указывает на отсутствие (или во всяком случае на безусловное уменьшение) коэффициентов асимметрии рассмотренных рядов, так как начэтой клетчатке вероятностей нормальные кривые распределения транс формируются в прямые линии. Коэффициент вариации годового стока всегда больше коэффициента вариации случайной компо ненты, так как в последней исключены сравнительно плавные ко лебания динамической средней.
Таким образом, при расчленении колебаний годового стока на динамические средние и случайные некоррелированные отклоне ния от них уменьшается дисперсия случайных колебаний по срав нению с исходным рядом при одновременном уменьшении в сред нем до нуля коэффициента асимметрии и коэффициента корреля ции между смежными членами ряда а;.
3 72
Т а б л и ц а |
7.1 |
|
Коэффициенты асимметрии рядов годового стока (Q;) и отклонений |
от динамической средней (оц) |
|
Река —пункт |
Cs для рядов <3 (. |
Cs для рядов ot(. |
|
|
Сухона — с. Рабаньга |
0,45 |
0,33 |
Сож — г. Гомель |
0,65 |
—0,19 |
Десна — г. Чернигов |
0,73 |
—0,11 |
Днепр — г. Речица |
0,22 |
—0,23 |
Обь — г. Новосибирск |
-0 ,0 1 |
—0,09 |
Десна— г. Брянск |
0,12 |
—0,23 |
Сож — г. Славгород |
0,71 |
—0,20 |
Волга — г. Ярославль |
0,42 |
0,42 |
Вятка — г. Киров |
0,11 |
—0,02 |
Припять — г. Мозырь |
0,22 |
-0 ,1 0 |
Вишера — с. Митраково |
0,63 |
0,59 |
Ангара — с. Пашки |
0,71 |
0,34 |
Ока — г. Муром |
0,04 |
-0 ,2 5 |
Ока — г. Орел |
0,42 |
0,07 |
Томь — г. Новокузнецк |
0,30 |
0,16 |
Бия — г. Бийск |
0,32 |
0,12 |
Шилка — г. Сретенск |
0,88 |
0,55 |
Днепр — г. Кременчуг |
0,28 |
-0 ,4 1 |
Днепр — г. Киев |
0,22 |
—0,26 |
Днепр — г. Орша |
0,90 |
0,41 |
Днепр — г. Смоленск |
0,90 |
0,38 |
Березина — г. Бобруйск |
0,95 |
-0 ,1 6 |
Среднее |
0,46 |
0,05 |
Отдельное изучение каждой из составляющих годового стока
(Qi и а,) может оказаться полезным при исследовании закономер
ностей многолетних колебаний речного стока во времени и прост ранстве [100—105] и при приведении речного стока к длительному периоду [106, 107]. При исследовании колебаний а, открываются некоторые дополнительные возможности их статистического опи сания, так как в настоящее время наиболее разработан математи ческий аппарат для выборок, произведенных из нормально рас пределенных и статистически независимых совокупностей, какими и являются отклонения годового стока от динамической средней.
Методы сглаживания колебаний годового стока проиллюстцируем на примере рек бассейна Днепра. На рис. 7.7 изображены сглаженные скользящие средние 11-, 21-, 31-, 41-летние колебания годового стока с постоянными (рис. 7.7 а) и биномиальными ве
совыми коэффициентами, симметрично убывающими от централь
ного члена осреднения (рис. 7.7 |
б). Скользящие средние |
при Т = |
= 11, 21, 31, 41 |
соответствуют ступеням осреднения k = \0, 20, 30 |
и 40 лет. |
на рис. 7.7 а, |
в случае скользящего |
осредне |
Как видно |
ния, осуществленного с одинаковыми весовыми коэффициентами,
