Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Следовательно, оценка получаемых выводов связана с выясне­ нием того, насколько достоверны суждения о внутрирядных ли­ нейных связях г(т) генеральной совокупности, получаемые по вы­

борочной автокорреляционной функции наблюденного ряда. Иначе говоря, необходимо выяснить, отражает ли выборочная ав­ токорреляционная функция свойства внутрирядной связанности генеральной совокупности или же колебания эмпирической авто­ корреляционной функции могут быть объяснены случайными флук­ туациями выборочных данных, связанных с ограниченной длитель­ ностью рядов наблюдений. Для решения этого вопроса необходимо оценить среднюю квадратическую ошибку выборочной автокорре­ ляционной функции г(т)

Расчеты по приведенной формуле, выполненные применительно к наиболее продолжительным рядам годового стока, показали, что средние квадратические ошибки эмпирических автокорреляцион­

(т. е. соответствующие генеральной совокупности) эмпирические автокорреляционные функции при т>1 даже в наиболее продол­ жительных рядах годового стока.

Поскольку теоретические оценки разработаны для выборок, про­ изведенных из нормально распределенных совокупностей, возникла задача оценить выборочные флуктуации г{т) путем сопоставления

функций, полученных по наблюденным и моделированным рядам. Указанное сопоставление осуществлено для нескольких рядов годо­ вого стока. При моделировании рядов использовались параметры

наблюденных рядов (х, Cv, Cs); характеристики внутрирядной свя­

занности принимались в двух вариантах:

1) г(т) = 0 при всех т (полное отсутствие внутрирядной свя­ занности) ;

2) учитывались лишь связи между смежными членами ряда. В целях выяснения устойчивости во времени эмпирических кор­ реляционных функций все расчеты осуществлялись с различным

нулевым отсчетом и по выборкам различного объема. Рассмотрим применение намеченного пути исследования на при­

мере годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Общий период наблюдений (141 год) разбивался на выборки объемом 36, 60 и 34 члена. Начало отсчета по каждой выборке смещалось на 12 лет. Объемы выборки, кратные 12, и смещение на 12 членов обусловлены объемом перфокарты, вмещающей 12 лет наблю­ дений.

На рис. 7.10 представлены автокорреляционные функции годо­ вого стока, рассчитанные по различным указанным отрезкам вре­ менных рядов. На этом графике видно, что дисперсия колебаний

383

полагать, что при дальнейшем увеличении длительности наблюде­ ний за речным стоком дисперсия колебаний г(т) будет уменьшаться.

Однако, не располагая очень длинными рядами наблюдений, не­ возможно сказать, будет ли это уменьшение дисперсии стремиться

Rlx)

п=М

0.1 -

Рис. 7.10. Автокорреляционные функции наблюденного годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

к нулю или какому-либо пределу при увеличении длительности ряда до бесконечности.

Для выяснения причины уменьшения размаха колебаний г(т) е увеличением п проведено статистическое моделирование рядов

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Это модели­ рование выполнено в соответствии с методикой, изложенной в главе V. При моделировании учитывался лишь коэффициент кор­

384

реляции между смежными членами ряда, равный 0,19. Далее, по полученному моделированному ряду объемом А=1000 были рас­ считаны автокорреляционные функции по выборкам точно такого же объема п, как это было принято в расчетах по наблюденному

ряду.

ЯСС)

0,8 •о

_

п=96

ряда годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки при гi, t+i= 0,19.

Результаты расчетов изображены на рис. 7.11. Амплитуда коле­ баний г(т) в моделированных рядах последовательно уменьша­ ется с увеличением п. Сопоставляя рассеивание выборочных авто­

корреляционных функций, полученных по наблюденным данным (рис. 7.10), с автокорреляционной функцией моделированных ря­ дов (рис. 7.11), видим их полное соответствие. Это дает основание

считать, что в рассматриваемом ряду годового стока имеется связь лишь между смежными членами ряда.

Аналогичные расчеты были осуществлены по годовому стоку р. Белой у г. Уфы, которые подтвердили сделанный вывод о ста­ тистической незначимости рассеиваний г(т) при т>1.

Целесообразность рассматриваемого пути оценки эмпирических автокорреляционных функций годового стока вытекает, в частно­ сти, из того, что формула (7.32), строго говоря, применена для выборок, распределенных по нормальному закону, а теоретическое решение задачи оценки выборочного коэффициента корреляции для выборки из произвольного закона отсутствует. Единственная попытка решения этой задачи была предпринята А. А. Чупровым. По этому поводу В. И. Романовский [111] пишет: «Сложность формул Чупрова показывает, что почти безнадежно, во всяком случае очень трудно, теоретическим путем решить в полном объ­ еме вопрос об оценке эмпирического коэффициента г, полученного

для выборки из произвольной совокупности». И далее: «Естест­ венно возникает поэтому мысль искать экспериментальным путем разрешения тех вопросов подобного рода, которые при теорети­

Таким образом, приведенные выше расчеты эмпирических ав­ токорреляционных функций годового стока рек по выборкам в не­ сколько десятков лет показали, что погрешности этих функций соразмеримы с величиной г(т). Выводы о достоверности функции г (г), полученные по отдельным рядам годового стока, целесооб­ разно сопоставить с расчетами г(х) по совокупности большого

числа рек с наиболее продолжительными (50 лет и более) рядами наблюдений.

Эти расчеты были выполнены по 72 рядам годового стока. В исследование не включались реки с сильным озерным регулиро­ ванием, для которых эмпирические г(т) заведомо выше. Резуль­ таты расчетов, представленные в табл. 7.3, показывают резкое убы­ вание эмпирической автокорреляционной функции с увеличением т. Эта закономерность хорошо описывается формулой

которая соответствует простой цепи Маркова.

Проведенный анализ достаточно убедительно показывает нали­ чие достоверной корреляции между смежными членами ряда годо­ вого стока (г(1)я;0,3); более дальние связи в значительной мере отражают случайные флуктуации выборочных данных, связанные с ограниченной длительностью имеющихся рядов. Это исключает возможность использования их в целях экстраполяции (прогноза на будущее). Вместе с тем эмпирические автокорреляционные функции при т > 1 могут рассматриваться как характеристики цик-

386

Т а б л и ц а 7.3

Осредненная автокорреляционная функция годового стока г (т)

лических многолетних колебаний гидрометеорологических элементон.

Как указано выше, эмпирические автокорреляционные функции при т > 1 часто привлекаются в качестве аппарата для выявления циклических многолетних колебаний гидрометеорологических эле­ ментов. При этом следует, однако, иметь в виду, что выводы та­ кого анализа правомерны лишь для тех периодов времени, кото­ рые освещены материалами наблюдений в силу отмеченной неус­ тойчивости во времени автокорреляционных функций. Возможность такого использования автокорреляционных функций рассмотрим на примере годового стока рек бассейна Днепра.

Учитывая то обстоятельство, что эмпирические автокорреляци­ онные функции изменяются в зависимости от длины исходных ря­ дов и начала отсчета, был выбран единый период времени (1900— 1954 гг.), для которого производились все расчеты. Это сделано в целях лучшего сопоставления автокорреляционных функций по различным створам наблюдений.

Расчеты г(т) осуществлялись на ЭВМ для рядов годового

стока и динамических средних, полученных с использованием бино­ миального фильтра при 11-летнем скользящем осреднении.

Рассматривая автокорреляционные функции рядов годового стока и динамических средних, представленные на рис. 7.12, можно сделать вывод, что в колебаниях годового стока рек бассейна Днепра имеют место циклы со средним периодом 6—8 и 25 лет. Цикл 6-—8 лет выражен не очень четко, а 25-летний цикл пред­ ставлен достаточно ясно. Для выяснения достоверности этих цик­ лов полезно провести совместный анализ указанных автокорреля­ ционных функций (рис. 7.12) и динамических средних, представ­ ленных на рис. 7.9.

Очевидно, что при этом колебания динамических средних сле­ дует рассматривать за принятый период расчета г(т), т. е. за 1900—1954 гг. Этот анализ показывает, что выявляющийся по ав­