Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 173

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

131

Ниже будут изложены некоторые свойства отноше­

ний равенства и порядка на КДЧ.

и у

 

 

 

2. Т е о р е м а

 

1. Для

любых

КДЧ х

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

х =

х;

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

в

у =

у =

х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3>

3>

 

 

 

 

 

Теорема

1 легко следует из определения

1.

 

 

Т е о р е м а

2.

Пусть

х,

у — произвольные

КДЧ.

То­

гда 1)

если

х =

 

У,

то

х>у;

 

 

 

 

 

 

2)

если

3>

у,

то

 

3>

 

 

 

 

 

 

х =

 

х<у;

 

 

 

 

 

 

3)

если

3)

 

то

 

з>

 

 

 

 

 

 

х>у,

 

х>у;

 

 

 

 

 

 

4)

если

х<у,

 

то

 

3)

 

 

 

 

 

 

5)

если

ЗУ

у,

то

 

3>

 

 

 

 

 

 

х >

 

ХФУ,

 

 

 

 

 

 

6)

если

3>

 

то

 

3>

 

 

 

 

 

 

х<у,

 

хфу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3>

 

 

 

3)

 

 

1),

2),

5),

6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Утверждения

очевидны. Утверждение 4)

следует из утверждения 3).

Докажем утверждение 3). Пусть

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

х>у.

 

 

 

 

 

Предположим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

х<у.

 

 

 

 

 

Тогда

по

определению

2

осуществимы

натуральные

числа тип

 

такие, что *)

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

x m - y m > 2 - m + i ,

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

Уп-ха>2-»+1.

 

 

 

 

Пусть

/ ^ т а х ( л : ( т ) ,

у{т)).

Тогда

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

\x(i)-xm\<2~m,

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

\y(i)-ym\<2~m.

 

 

 

 

*)

Напомним,

что

через х„

мы

обозначаем

х (х(п)) (§

2).

 

Б*

132

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

 

[ГЛ. 2

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x{i)

— y (0 = (хт

— Ут) +

{х (0 — хт)

+

{ут

— у

(0).

-

-

 

^

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

-

 

 

Отсюда, учитывая (3), (5), (6), получаем

 

 

 

 

 

(7)

х (0 -

£ (/) >

2 " m + 1

-

2 ~ m -

2~т =

0.

 

 

 

Точно

так

же

при

i ^

max (х (п),

у [п))

выполняется

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

y(i)-x(i)>0.

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

при

 

тах(х(т),

 

у(т),

х{п),

у(п))

одновременно

выполняется

(7)

 

и (8),

что

невозможно.

Следовательно,

~]{х<.у),

т. е. х^у,

 

что

и

требо­

валось.

 

 

 

Для

любого

 

рационального

 

числа

г

Т е о р е м а

3.

 

 

выполняется

 

 

 

 

г =

5) (г),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. всякое

рациональное

число

равно

своему

действи­

тельному

образу.

Для

любых

рациональных

 

чисел

ги

г2

Т е о р е м а

4.

 

имеет

место

rxbr2^rxbr2,

3>

где

б обозначает

 

любой

из

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

знаков

=,

 

<,

>,

 

0

ff"

а

б — одноименный

знак

 

0

 

0

 

0*

3>

 

 

 

 

 

 

 

с индексом

 

«2)».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3 непосредственно усматривается из опреде­

ления

1. Теорема

4

(показывающая,

что отношения

ра­

венства и

порядка

КДЧ

совпадают

на

рациональных

числах с введенными ранее рациональными отношения­ ми) легко следует из следующих трех простых лемм,

доказательство

которых

предоставляется читателю.

 

Л е м м а

1. При каждом натуральном

п 2™ > п.

 

Л е м м а

'2.

Можно

построить алгорифм

а

типа

 

так,

что для

любого рационального

г,

если

гФО,

то

 

}г\>2-а{г\

 

 

 

Л е м м а

 

число

и при

лю­

3. Пусть г — рациональное

бом п

 

 

I г | < 2~".

 

 

 

Тогда

г == 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

 

133

3. Приведем некоторые необходимые и достаточные

условия равенства

 

КДЧ.

ПНЧ

 

р назовем

 

возрастающей,

О п р е д е л е н и е

4.

 

 

если при

любом

п

 

 

Р ( я ) < р ( л + 1 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

5

(необходимое условие равенства

КДЧ) .

Пусть х,

у — равные

КДЧ.

Тогда

осуществима

возрас­

тающая ПНЧ

а такая, что при

любом

натуральном

п

(9)

 

 

 

| х(а

(п)) — у(а

(п))\<2~п.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

этой

тео­

ремы достаточно

построить

алгорифм

93 такой, что

для

любых х,

у

из

х =

 

у

следует,

что

23* „

есть

возрастаю-

 

 

 

 

з>

 

 

 

 

(9).

 

 

 

 

 

 

 

щая ПНЧ, удовлетворяющая

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь теоремой об универсальном алгорифме и

теоремами

сочетания

алгорифмов,

можно

построить

алгорифм

23 так,

чтобы

выполнялись

условия:

 

 

23(х,

у,

0 ) ~ т а х ( х ( 2 ) ,

у

(2));

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93(х, у,п

+

1 ) ~ т а х ( 2 3 ( х ,

у,

п), х(л +

3),

у(п

+

3)) + 1.

Очевидно, для любых КДЧ х и у алгорифм 23ж, у яв­

ляется возрастающей ПНЧ,

причем при

любом

п

 

 

 

 

 

 

 

%х,у{п)>~х{п

 

+

2),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%х,у{п)^у{п

 

+

2).

 

 

 

 

 

 

Пусть

х,

у — равные

КДЧ . Покажем,

что

23*.у

удо­

влетворяет

(9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При пг^

max(x(n

+

2),

у (п + 2)) выполняется

 

(11)

 

 

 

| х(ш) — хп+21

 

< 2~п~2,

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

\у(ш)-уп+2\<2-п-2

 

 

 

 

 

(напомним,

что

xk

 

обозначает

x(x(k))

см. стр.

130).

Ввиду

равенства

х — у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

\ х п + 2 - у п + 2 \ < 2 - п - \

134

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Из

(11) —(13)

 

получаем,

что

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ^

max

(х (п +

2),

 

у (п +

2))

 

 

 

 

имеет

место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14)

]х(т)~

 

yjm)

 

| <

2"1-2

+

2~"-2

+

2~п-х

=

 

2~п.

 

Из

(10)

и

(14)

вытекает,

что

%х,у

удовлетворяет

(9).

Т е о р е м а

6

(достаточное

условие равенства

КДЧ).

Пусть

х,

у — КДЧ

 

такие, что осуществимы

возрастаю­

щие

ПНЧ

он, ОС2,

для

которых при

 

любом

п

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

U

(«.(»))

 

 

-У(а2(п))\<2-п.

 

 

 

 

Тогда

х =

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что при некотором k

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

U * - ^ l > 2 - * + I .

 

 

 

 

 

Пользуясь леммой 2, найдем натуральное / таким

образом,чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

\ x k

- y k \ > 2 ' k

+ 1

+

2-1.

 

 

 

 

 

Пусть

теперь

ти

т2

— натуральные

числа

не мень­

шие, чем

max(x(k),

 

y(k)).

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\x{mi)-xk\<2-k

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\y_{m2)-yk\<2-k.

 

 

 

 

 

Из

очевидного

равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х{щ)

— У {т2) =

xk

— yk

— (xk

— * (/я,)) — (yjm2)

 

—

yk),

ввиду (17), (18) и (19), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

(20)

 

\ xirtii)

-

у(т2)

\^\

xk

-

yk\

 

— \ xk

— xinii)

\ —

 

 

 

- 1

У (Щ) -Ук\>

 

2~k+x

+ 2~l

-

2'k

- 2~k

=

2"'.

Пользуясь

тем,

что

щ,

 

а2 — возрастающие

ПНЧ,

найдем п >

/

такое, чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, (я) ^

max (х (k),

у (&)),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

(n) >

max (х {k),

у

{k)).

 

 

 

 

Смотрите также файлы