Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

135

Тогда,

ввиду

(20),

|дс(о, (я)) -

у (а2 (л)) | >

2~1.

Это, однако

(так как п > Г),

противоречит (15).

Следовательно,

при любом k

т. е.

~\{\xk-yk\>2-k+l),

что и дает х = у.

l * * - y * l < 2 - * + ,

f

з>

7

(транзитивность

отношения

равен­

4. Т е о р е м а

ства

КДЧ) . Каковы

бы

ни

были

х,

у, г, если

х = г/,

у = z,

то Х = Z.

з>

.

. .

3)

3>

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

равенств х = у и у = г

при любом натуральном п имеем

(21)

\ х п - у

п \ ^ 2

' п + \

(22)

\Уп-гп\<2-п+\

Пусть

теперь

гп~^х(п).

Тогда

| х (т) — хп\<

2~п.

Следовательно,

(23)

\х{т)-уп\<

2'п+х

+

2 - " < 2~п+2.

Нетрудно построить

возрастающую ПНЧ а,

такую,

что при всяком

п

a i (я) ^

х (п +

3).

136

КОНСТРУКТИВНЫЕ Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е

ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Из

(24)

и

(25)

следует, что при всяком п

| х ( а , ( п ) ) - г ( а 2 ( я ) ) | < 2 _ л .

Ввиду теоремы 6 отсюда следует х =

z.

Построим алгорифм «оси» такой, что

для любого

Р<=4

{

Р,

если

О н е

входит

в Р,

оси (Р)

— {

Р =

Q, <) Q2

I

Qj,

если

и

<>

не

входит

в Q,.

О п р е д е л е н и е

5. Пусть х — КДЧ.

Слово

осн(х)

назовем основой

х.

Т е о р е м а

8. Пусть х, у — КДЧ

и

тогда

х —

ц.

осн (х)

= осн (у);

Т е о р е м а

9.

Пусть х,

у — КДЧ

и существует

п та­

кое, что

V m ( m ^ t f n

х(m) =

у(tn)).

Тогда

x =

у.

—

g> —

Теоремы 8—9 очевидным образом вытекают из тео­

ремы 6.

Пусть

х, у — КДЧ.

Для

того чтобы

5.

Т е о р е м а

10.

выполнялось

х <

у,

1)

необходимо,

чтобы

существовали

натуральные

числа

тип

такие, что

(26)

Vkl(k,

l^mzD(y(k)-x(l)>2-n));

2)

достаточно,

чтобы

существовали

натуральные

числа

тип

такие,

что

(27)

Vk{k^m^(i(k)-x(k)>2-nj).

(28)

yt

- X

t >

2~l+1.

Пользуясь

леммой

2,

найдем

натуральное число п

такое, что

(29)

yt -

и >

2

- ' ч 1

т 2 Л

Отсюда,

ввиду

(35),

следует

Уп+2

хп+2

>-2

- п - 1

. 2 - " - 1 _ 2 - ( n + 2 ) + 1

Следовательно, х

<

у.

х, у — КДЧ

Т е о р е м а

11. Пусть

такие,

что осуще­

ствимо натуральное

число

п,

удовлетворяющее

условию

(40)

V m ( m ^ / i D

j t ( m ) < ^ ( m ) ) .

Тогда

х^.у.

-

& -

з>

Предположим,

что

х~>у.

То-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

з>

гда по теореме 10 осуществимы k, I

такие,

что

V//(/,

j^k=j(x(i)-y(i)>2~%

Это, очевидно, противоречит

(40).

6. Докажем инвариантность отношений порядка от­

носительно равенства

КДЧ.

Т е о р е м а

12.

Для

любых

КДЧ

х,

у,

хх,

уи

если

х<у,

хх=х,

ух

=

у,

то хх<

ух.

3>

3>

3)

3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пользуясь

теоремой

10,

най­

дем натуральные числа m, п так, чтобы

(41)

V//(/,

j^m=>y{Q-x

(/) >

2"1).

Положим

пгхПри== max/, j^m(х(пx

- f 4),выполняетсяу (п + 4),

х, (п

+

4),

ух

{п +

4),

ш).

(42)

1 * (0 — xn+t

[ <

- л - 4

2

(43)

\У(П-Уп+*\<2

- л - 4

- Л - 4

(44)

I f i (0 — (*|)«+*

I <

2'

(45)

I У\(!)

-

(Удп+41

<

2

- л - 4

(46)

(xl)n+4

1П+4

К

2" - л - З

(47)

Г 0 / , ) „

+ 4

2

- л - 3

Из (42), (44), (46) получаем

(48)

| *, (/) -

х (0

| <

2~п~4

+

2-"-"

+

2 - " - 3

=

2-"~2 .

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

139

Аналогично,

(49)

\y1(i)-y(i)\<2-n~2.

Из

(41), (48), (49)

получаем

У1 (/) -

£} (0 >

У 0') -

x(i)

- 2 - " - 1

> 2~я -

2 - " - 1 =

2 - " - 1 .

Согласно

теореме

10

отсюда

следует

у\ >

Хь

З а м е ч а н и е . При формулировке теорем

10 и

12 мы

{{3? ХЖ)т+

Ж),

{{ЗУ2 ХЖ)-7+

Ж),

{{SD2

X Ж) т* Ж)

со

следующими

свойствами:

1) если слово

х, у, п таково,

что

уп-хп>2~п+\

то

!93' (х,

у,

п),

!232(х, у, п) и для

всех

k, I,

не меньших,

чем

ЗЗ1 (х,

у,

п),

выполняется

то !333 (х, у,

п,

т)

и

, .

„ •

^ г ) - 8 3 ( х , У. п, т)+1

У«»(х,

у,

п. т)

Л *8» (ж, у, п, т)

6

ремы 12 (и следующих ниже теорем

14 и

15).

Т е о р е м а

13.

Для

любых

КДЧ

х,

у, Х\, уи

если

х <: у U Xi = х, ух

=

у, ТО Xi ^

ух.

у\.

То­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что Хх >

гда по теореме 12 х>у,

что невозможно. Следователь­

но, Х\ < ух.

7.

Т е о р е м а

14

(транзитивность

отношений

<

и

з>

>).

Пусть х,

у,

z — произвольные

КДЧ.

Если

х <

у,