Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

162

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛА

[ГЛ. 2

алгорифма

о х у у

относительно алфавита

Ч (см. п. 4

§ 3

гл.

есть множество рациональных

чисел,

принадлежа

щих

х V у.

а',

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим алгорифм

приме

нимый к слову Q в алфавите Ч тогда и только тогда,

когда

Q е 53, и

такой, что

если

!cr'(Q),

то

o'(Q)==Q.

Легко

видеть,

что требуемыми

свойствами обладает

алгорифм

а такой, что

o(xvy,Q)^G(-(o'

(Q), x))G{ — {у, a'

(Q))).

любого

мно

С л е д с т в и е

Для

интервала

жество рациональных

чисел,

принадлежащих

этому

ин

тервалу, перечислимо

* ) .

С л е д с т в и е

Можно

построить алгорифм

Рц

так,

что: 1)

Рц является

арифметически

полным

алгорифмом,

перечисляющим

множество

всех

рациональных

чисел;

для

любого

интервала

х V у

Р ц * ^ является

ариф

метически

полным

алгорифмом,

перечисляющим

множе

ство рациональных

чисел,

принадлежащих

у.

З а м е ч а н и е .

Алгорифм

Рц

перечисляет

множество

рациональных чисел (множество рациональных чисел из данного интервала) заведомо с повторениями в том смысле, что для каждого рационального г при бесконеч ном числе значений i выполняется равенство Р ц ( 0 = г.

Этот «дефект», однако, может быть устранен. Именно, аналогично теореме 2 п. 3 § 3 гл. 1 доказывается, что для каждого перечислимого множества рациональных чисел Ж осуществим стройный алгорифм а типа {Ш -г* Ж) такой, что: 1) для любого г^Ж найдется i, при кото ром !а(г) и а(/) = г; 2) равенство а(/)== а(/) возможно

лишь при i = /'.
О п р е д е л е н и е 5. КДЧ	х назовем	иррациональным,
если невозможно рациональное	число	г такое, что х = г.

Предоставляем читателю доказать, что для любого интервала множество иррациональных КДЧ, принадле жащих этому интервалу, неперечислимо и, более того, это множество эффективно несчетно (в смысле § 3 гл. 3).

*) Нетрудно убедиться, что для любого интервала множество рациональных чисел, принадлежащих этому интервалу, не может быть неразрешимым.

	Г Л А В А 3
КОНСТРУКТИВНАЯ	с х о д и м о с т ь .
ЭФФЕКТИВНАЯ	НЕСЧЕТНОСТЬ
КОНСТРУКТИВНОГО	КОНТИНУУМА

Вданной главе излагаются основные факты кон структивной теории сходимости. Эта теория, как будет видно из дальнейшего, наряду со значительным сход ством с традиционной теорией пределов, имеет также значительные от нее отличия. Эти отличия, однако, свя заны не столько с конкретными приложениями теории пределов (сходимость тех или иных используемых в ана лизе последовательностей и рядов), сколько с теорети ческими вопросами (такими, как существование предела ограниченной монотонной последовательности).

Всвоей прикладной части (признаки сходимости, сходимость тех или иных конкретных последовательно стей и рядов) конструктивная теория пределов почти аналогична традиционной теории и, по-видимому, в та кой же или почти в такой же степени может обслужи вать ее обычные приложения. Чтобы не пересказывать соответствующих разделов учебников анализа, мы почти

не останавливаемся на	этих вопросах, приводя лишь
в качестве иллюстрации	некоторые признаки сходимости

рядов и определение числа е.

В последнем параграфе главы устанавливается кон структивный вариант теоремы Кантора о несчетности континуума.

§ 1. Основные определения.					Первоначальные			теоремы
о пределах
О п р е д е л е н и е			1.	Последовательностью				конструк
тивных	действительных			чисел		(ПКДЧ	или,	короче,
ПДЧ)	называется	алгорифм,			перерабатывающий'			всякое
натуральное число		в	КДЧ.
О п р е д е л е н и е			2.	Пусть	а — ПДЧ.		ПНЧ	(3 назы
вается	регулятором		сходимости			в себе	(или,	короче,

164

КОНСТРУКТИВНАЯ

с х о д и м о с т ь

[ГЛ. 3

регулятором

фундаментальности)

а,

если

Vnml

(/л,

/ >

р (я) =э | а (пг) -

а (/) | <

2"").

О п р е д е л е н и е

ПДЧ

назовем

фундаменталь

ной

(квазифундаментальной),

если

осуществим

(невер

но, что

не

существует)

регулятор

фундаментальности

этой

последовательности.

О п р е д е л е н и е

ПДЧ

назовем

псевдофунда

ментальной,

если

Vrt ~) ~) З/гУт/ ( т ,

/ >

А =) | а (пг) — а (/) | <

2"").

О п р е д е л е н и е

Пусть

х—

КДЧ

и алгорифм

а—

ПДЧ.

ПНЧ

назовем

регулятором

сходимости

ПДЧ

к КДЧ х, если

Упш (щ >

Р (л) =з | а ( т ) — * | <

2~").

О п р е д е л е н и е

Будем

говорить, что ПДЧ

схо

дится к

КДЧ

х (или

что х является

пределом

ПДЧ

ос),

если

осуществим

регулятор

сходимости

х.

О п р е д е л е н и е

ПДЧ

назовем

сходящейся,

если

осуществимо

КДЧ, к которому

сходится

эта

последова

тельность.

П О Ч Т И очевидны следующие три теоремы.

Т е о р е м а

1 (единственность

предела). Если

ПДЧ

сходится

к КДЧ х и Х\, то х =

Х\.

Т е о р е м а

Пусть

ПДЧ

сходится

КДЧ

х и

ПДЧ

а\

такова, что при

любом

а, (л) =

а (л).

Тогда а\ сходится к х.

(При

этом всякий

регулятор

схо

димости а к х является

регулятором

сходимости

а\

х.)

Т е о р е м а

Пусть

ПДЧ

сходится

к х и хх

х.

Тогда а сходится к Х\.

(При

этом всякий

регулятор

схо

димости а к х является

регулятором

сходимости

к Х\.)

Т е о р е м а

Пусть

ПДЧ

он

<х2

сходятся

соответ

ственно

к Xi и х2,

причем

осуществимо

такое,

что

для

любого

я ^=

а, (л) ^

а2

(л).

Тогда хх ^ х2.

§ II

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

165

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Х\ >

х2.

Тогда

по

строению алгорифма G (лемма 8 § 3 гл. 2)

(1)

Х1-х2>2-а(х'-х>\

Пусть б,, б2

— регуляторы сходимости соответственно at

и а2

Хх и

х2.

произвольное

/ такое,

что

Рассмотрим

i >

max

(б! (G (хх

— х2)

1), б2 (G (л:, — д;2) - f

1),

т).

Тогда

(2)

\al(D-xl\<2-G{x^)-\

(3)

I ог (о — ж3

г - 0

^ - ^ - 1 .

Из

(1) — (3)

получаем

<*i (0 — а2

О,

что

противоречит

условию.

С л е д с т в и е

Если

ПДЧ

а,

сходится

осу

ществимо m такое,

что при

любом

п^т

а(п)^.

у, то

х =g: у.

(Аналогично,

если

при

п^т

<х(п)^у,

то

х >

у.)

Нетрудно

также

доказать

следующее

утверждение.

Т е о р е м а

Если

ПДЧ

cci,

сс2

сходятся

одному и

тому же КДЧ

и ПДЧ

такова,

что при любом п

min (ctj (п),

а2 (п)) ^

а (п)

max (а, (п),

(п)),

то а сходится

к этому же

КДЧ.

О п р е д е л е н и е

Пусть а — ПДЧ.

Назовем

возрастающей

(неубывающей),

если

при

любом

а(п+

1) >

а(п)

(соответственно

а(п

- f 1 ) ^

( л ) ) .

Назовем

убывающей

(невозрастающей),

если

при

любом

а(п

1) <

а(п)

(соответственно

а ( п + 1 )

^ а ( ' 0 ) -

Назовем,

монотонной,

если

является

неубы

вающей

или

невозрастающей

ПДЧ.

166		КОНСТРУКТИВНАЯ				СХОДИМОСТЬ				[ГЛ. 3
Т е о р е м а		6.	Если	неубывающая					(невозрастающая)
ПДЧ	а сходится		к КДЧ х, то для любого						п
	а(п)^.х			(соответственно				а ( п ) ^ х ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть		при	некотором п0
(4)					х<а{щ).
Тогда	при	i^n0
(5)			х < а (n0) ^			а (г).
Отсюда по следствию				1 получаем
что невозможно.				х < а (n0) ^			х,
							р является
Л е м м а 1. Пусть				алгорифм						регулятором
фундаментальности ПДЧ					а.	Тогда		если	а	сходится к
КДЧ	х, то при любом				р(/г)
			\|а(/г)		— * K 2 " f t .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть		k,	г ^ р ( п ) .		Тогда

| а ( А ) - а ( / ) | < 2 - " ,

т.е.

(6)а ( / г ) - 2 " " < а ( 0 < а ( £ ) + 2~'1 .

Отсюда согласно следствию 1 получаем

a (k) - 2~" < х < а (k) + 2~",

т. е.

| * - а ( й ) | < 2 ~ я ,

что и требовалось.

Следующая теорема устанавливает простую связь между регуляторами сходимости и фундаментальности

данной ПДЧ.				р и р' — ПНЧ
Т е о р е м а 7. Пусть							такие,	что при
любом	п р'(«) ==р(л + 1).				Тогда
1)	если	р есть регулятор			фундаментальности			ПДЧ а
и а сходится к некоторому					КДЧ,	то р'	есть	регулятор
сходимости		а к этому	КДЧ;				а к некоторому
2)	если	р есть регулятор			сходимости
КДЧ,	то р' является		регулятором			фундаментальности			а.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				1)	Пусть р — регулятор				фун
даментальности ПДЧ а				и а	сходится к КДЧ х.			Согласно

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно