Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

241

ким образом,

что !<D(&i), !Ф(£2 ) и

s'k, — r'k'

s k ~ r

k , -

(Через

s^.

мы

обозначаем

левый и правый

концы

ин­

тервала

Ф(0

(в

случае, если

!Ф(0-)

Пусть !Ф(£).

По­

нием

3), найдем / такое, что Ф(&)

включен

в W(l).

Если

rt<r'k,

то r^ex F(Z). Если

же

/'/ =

^ ,

то

по

условиям

утверждения

5)

мы

можем

найти т,

при

котором

г £ е

е Ч ^ т ) . Следовательно,

всегда

можно

найти/такое,

что

f j e f ( l ) .

Тогда

в силу

утверждения

4)

можно

найти

/ь

h

так,

что !<D(/i),

!Ф(/2 )

и

S:

=

rr.,

Г'п < Г'* < SU-

Отсюда и из утверждения 2) леммы без труда сле­

дует,

что

r'k — s'/-

Таким образом,

в качестве

k\

можно

взять

/ i . Лемма

доказана.

Алгорифм

F

назовем

после­

2.

О п р е д е л е н и е

2.

довательностью

конструктивных

функций

(или,

короче,

последовательностью

КФ),

если

при

всяком

п

алго­

рифм

Рп

является

конструктивной

функцией*).

О п р е д е л е н и е

3.

Последовательность

конструк­

тивных

функций

F назовем

согласованной,

если

при

вся­

ких п,

ш,

х

таких,

что \F(n,

х)

и \F(m,

х),

выполняется

F(n,

х) =

F(m,

х).

КФ

f назовем

объединением

со­

О п р е д е л е н и е

4.

гласованной

последовательности

КФ F,

если

1)

при

всяком

m u x ,

если

\F(m,

х), то \f(x)

и

f(x)

=

F(m,

х);

2)

при

всяком

х

КФ f

определена

в

точке

х

только

в

том

случае,

когда

осуществимо

ш,

для

которого

\F(m,

х).

242

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

Мы

будем

использовать

следующий

сокращенный

оборот

речи. Пусть F — последовательность

КФ,

причем

при каждом

п Рп

есть КФ некоторого типа. В такой

си­

туации мы будем называть F последовательностью

КФ

данного типа.

Для

всякой

согласованной

последова­

Л е м м а

3.

тельности КФ можно построить КФ, являющуюся

ее

объединением.

Пусть F — согласованная

Д о к а з а т е л ь с т в о .

по­

следовательность КФ. Обозначим через Жх

множество

натуральных

чисел таких, что

п е Мх

=

IF {п,

х).

Очевидно, множества

Жх

перечислимы. Построим

ал­

горифм 91 так, чтобы при всяком х алгорифм

91ж

был

стройным

алгорифмом, перечисляющим

Жх

(теорема 7

§ 3 гл.

1). Построим

далее

алгорифм /

так,

чтобы

f{x)~F{%{x,

0),

х).

Покажем, что / и есть искомая конструктивная

функ­

ция.

m,

х

\F(m,

х).

1) Пусть

при

некоторых

Тогда

т<^Мх.

Следовательно, !21(х, 0), и так как

91 (х,

0)^ЖХ,

то \F(%(x,

0),

х),

т. е. lf(x).

Ввиду

согласованности

по­

следовательности

F получаем

откуда

f(x)

= F{%(x,

0), x) =

F(m,

х),

f(x)

=

F(m,

х).

2) Пусть

\f(x).

Тогда

!91(х,

0)

и 91 (х, 0)

есть

нату­

ральное число, причем

f(x)

=

F{%(x,

0),

х).

Для

завершения

доказательства

осталось

показать,

что / есть КФ. Пусть при некотором х lf(x)

и

у

— х.

Тогда !/7(91(л:, 0), х).

Отсюда,

так

как F — последова­

тельность КФ, следует, что !F(9I(x, 0), у).

Следова­

тельно,

Ш(х,

0)^ЖУ.

Поэтому

\F(%(y,

0), у),

т. е.

\f(y).

Далее, ввиду согласованности

F,

F{%{y,

0), y) =

F(%{x,

0),

0) =

0

)

,

х).

СТРУКТУРА

КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

243

Следовательно,

f{x)

—

f{y),

чем

и

заканчивается

дока­

зательство.

Конструктивную

функцию

ср на­

О п р е д е л е н и е

5.

зовем

угловой,

если

можно

найти

рациональные

числа

r\,

г2,

г3, г4 ,

г5 ,

г6

такие, что гх <. г2

и

при

всяком

х

1)

если

т1 <С х <С г2, то

<Q(x) = r4-\x

— r3\

+ r5-x

+

r6;

2)

алгорифм

ф

применим

к

х только

в

том

случае,

когда

r\ <

х <

г2 .

Интервал r\ V г2

будем

называть носителем

угловой

функции ф, а значения функции г4-

\х

— г3\-\-

г5-х&

-\- г5

на

концах

r\ V г2

— пре­

У,

дельными

значениями

ф

в точках Т\ и г2 .

сле­

h

Вполне

очевидна

1

N .

дующая

X

1

N .

Л е м м а

4.

Для

вся­

tf

1

X

ких рациональных

чисел

t2

т

1

!

-

г\,

r2,

r3, tu

t2,

U

таких,

что

Г\ <

г3

<; г2 ,

можно

п

построить

угловую

функ­

цию

с

носителем

г\ V

г2 ,

Рис.

11.

предельными

значениями

t\, t2 в точках

ги г2,

принимающую

в

точке

г3

значение,

равное

t3

(рис.

11).

положим

В

самом деле,

Аз — г,

k\ +

k2

2

'

5

'

2

'

и

рассмотрим

К Ф Ф' такую,

что

q>'(*"l) =

' l .

244

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

Далее,

пользуясь

алгорифмом

sgn,

нетрудно

по­

строить КФ ч; такую, что

(ср. пример

г)

§ 1)

1)

если

lty(x),

то $(х)

=

х;

2)

!г|з (х)

=

х е

г,

V

г2-

Пользуясь теоремой композиции алгорифмов, по­

строим

алгорифм

ф так, что

ф(л;)~ф' (•ф(лг)).

Очевидно, ф является искомой угловой

функцией.

О п р е д е л е н и е

6.

КФ

ф назовем

псевдополиго­

нальной,

если

ф является

объединением

согласованной

последовательности

угловых

функций.

О п р е д е л е н и е

7.

КФ

ф назовем

непустой,

если

ф

не

является

нигде

не

определенной

функцией

(т.

е.

-]V*(-|!<p (*))).

Сформулируем

теперь

аппроксимационную

теорему

Ц е й т и н а

[5].

Для

всякой

непустой

КФ f и

всякого

Т е о р е м а

1.

п

можно

построить

псевдополигональную

функцию

ц>

так, что при

любом

КДЧ

х,

если \f(x),

то !ф(х)

и

число в рациональное число, причем

при любых

k

и х, если х принадлежит сегменту rkAsh

и \f(x),

то

| / ( х ) - т ( * ) К 2 - " - '