Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 200

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СТРУКТУРА

КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

245

(т. е. осуществимы алгорифмы,

перерабатывающие

всякий х, для которого

lf(x),

в

искомые

натураль­

ные числа *) ) .

 

 

 

 

 

(7) Для всякого т

можно

найти

натуральные

числа к

и / так, что

 

 

 

 

 

и

sk —

гт

 

 

 

 

 

 

 

 

sm — ft

(т. е. для каждого интервала последовательности Ф осуществимы примыкающие к нему справа и слева интервалы этой последовательности).

Построим алгорифм X так, чтобы при всяком k

 

X{2-k)

=

rk,

( )

X(2-k+\)

=

sk.

Очевидно, X является арифметически полным алго­ рифмом, перечисляющим множество рациональных чи­ сел, являющихся концами интервалов последователь­

ности Ф.

k

через k\ и k2 обозначим

Для

каждого натурального

натуральные числа такие, что

 

 

 

skl = Я

(k),

 

rk^X{k).

 

 

(Такие

числа можно найти ввиду

(7).)

Назовем число k числом первого типа, если

(9)

| T ( f t , ) - T ( f e 2 ) | < 2 - B .

Число k назовем числом второго типа, если

(10)

\r(k1)-x(k2)\>2-n**).

Сопоставим каждому k два рациональных числа t\ и t\ следующим образом.

*) В свете определений § 1 гл. 8 можно сказать, что мы рас­ полагаем сегментным дизъюнктным покрытием области определе­ ния КФ /•

**) Поскольку т(() при любом i есть рациональное число, то свойство быть числом 1-го или 2-го типа алгорифмически прове­ ряемо.

246 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

(11)

Если k — число

1-го типа, то

 

 

 

 

 

 

f{k==zfk—

T(fei) +

T(ft2 )

 

 

(12)

Если k — число 2-го типа, то

 

 

 

 

 

 

 

ti

=

r(k\),

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

если A(0 = 4/) .

то

t\ —

t)

и

t\=t).

 

 

Кроме того,

ввиду (9) — (12), независимо от

типа к,

(14)

 

 

K - T ( f c i ) | < 2 - " - !

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

 

 

\ А - х ( Ы \ ^ Т п - \

 

 

Сопоставим

теперь каждому

k

две угловые

функции

\\ и

\\

следующим

образом

(построение

этих

функций

может быть выполнено с помощью леммы 4).

 

Если

k — число

1-го

типа,

то

f\=f\

и f\

является

угловой

функцией с

носителем

rf e l

v skl,

принимающей

У

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

A(2k,hrhj

Ф1к,) \'Mhrie

Ф(кг)

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

12.

 

 

 

в

точке

X(k)

значение

4 =

4

и предельные

значения

tlk,,

tlk2+i

в

точках

rkl

и

sk2

(рис.

12). (Очевидно,

A(2-fe,) =

rf c l

и Я (2 - / г 2 +

l ) = s f t

2 . )

 

 

 

Если

& — число

2-ГО типа,

то f[

имеет

носитель

r f t l V M & ) >

линейна на этом интервале

и принимает пре-

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

247

дельные значения t \ k , t\ на его концах,

f2k имеет носи­

тель A,(&)vs &2 >

линейна на этом интервале и принимает

на его концах

предельные

значения t\,

t\.k2+i (рис. 13).

У

 

 

 

 

i

>

 

 

>-t

 

 

 

t

 

1

 

l

 

 

i

 

1

1

i

 

1

 

i

 

 

Рис. 13.

Пусть x таков, что !/(х). Ввиду (5) и (14) —(15) имеем

(16)

если k — число

1-го типа,

то из rki

<xs^ski

 

следует lf[(x) и

 

 

 

\f(x)-flk(x)\<\f(x)-x(kl)\

+

\x(kl)-fi(x)\^

 

а из sk ^х < sk}, следует \f\(x) и

| / W - / * W | < 2 - n ;

(17)если k — число 2-го типа, то из х е= Ф (k{) так же,

как и выше, следует !/' (х) и

| / ( * ) - / 1 ( * ) | < 2 - п ,

а из JteO(fe2 ) следует !f^(x) и

| / W - / * W | < 2 - » . Построим теперь алгорифм F так, чтобы

F(2-k, х)~Ц(х), F(2.k+l, x)~f*{x).

248 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

Очевидно, F является последовательностью угловых функций. Из (13), дизъюнктности интервалов последо­ вательности Ф и определений функций f\, / | непосред­ ственно усматривается, что последовательность F согла­ сованная. Пользуясь леммой 3, построим псевдопо­

лигональную

функцию

ф,

являющуюся

объединением

последовательности

F. Покажем, что ф — искомая

функ­

ция. Пусть при

некотором х

\f(x).

Пользуясь

(6),

най­

дем k таким

образом, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk,<x< sfe2.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

случаи.

 

 

 

 

 

 

 

 

1) k — число

1-го типа. Тогда всюду на rki V

s b

 

 

 

 

 

 

Ф(0 =

Д(0 -

 

 

 

 

 

 

Предположим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| < р ( * ) - / ( * ) | > 2 - я .

 

 

 

 

Тогда

ввиду

(16) не

выполняется

ни rkl

<x^.skl,

 

ни

skl ^.x<ski,

 

что невозможно. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

| Ф ( * ) - / ( * ) | < 2 " \

 

 

 

 

2)

k—число

2-го типа. Предположим, что х =

 

X(k).

Тогда, ввиду

(5),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

1 / ( * ) - т ( * , Ж 2 - я - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

| т ( А , ) - т ( А 2 ) | < 2 " " ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что противоречит

(10). Следовательно, хф%(к),

 

и

мы

можем

(используя

принцип Маркова)

указать тот из ин­

тервалов

0 ( & i ) ,

Ф(&г),

которому

принадлежит

х.

Пусть,

например,

1 б Ф ( ^ ) .

Тогда

\f[(x),

<p(x) = flk(x)

и со­

гласно

(17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| / ( * ) - Ф ( * ) | < 2 - я .

 

 

 

 

 

Таким образом, если \f(x),

то 1ф(х) и

 

 

 

 

1 / ( * ) - < р ( * ) 1 < 2 - \

что и требовалось,

 

 

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

 

249

Для завершения доказательства теоремы осталось

построить

алгорифмы Ф и т ,

для которых

выполнялось

бы

(4) — (7). Наметим

это

построение. Пользуясь уси­

ленной формой теоремы о непрерывности

конструктив­

ных

функций

(теорема 3 § 2), построим алгорифмы

XY2,

%2 такие, что

k, если 14^(&), то

x¥2(k)

 

 

 

(18)

для

любого

— интервал,

 

и если h2(k),

то %2{k)—рациональное

число;

 

(19)

при

любых

k и х,

если

\xY2(k),

\f(x)

и

x^W2(k),

 

то h2(k)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\f(x)-x2{k)\<2-n-\

 

 

 

 

(20)

для

всякого

х такого,

что lf(x),

можно

найти

т,

 

при

котором

\W2(m)

и

х^л¥2{т).

 

 

 

Обозначим через Ж\, Ж2

множества натуральных

чи­

сел, к которым применимы соответственно алгорифмы

W2

и Т2- Пусть

Ж — пересечение этих множеств. Очевидно,

Ж

перечислимо.

Далее

Ж непусто

(иначе

по (19) —

(20)

/ нигде

не определена). Следовательно, (теорема 4

§ 3 гл. 1), можно построить арифметически полный ал­

горифм у. перечисляющий Ж. Построим

алгорифмы

Wi

и Ti

так, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т| (k)caxa(y

(k)).

 

 

 

 

 

Очевидно, Wi

и n

— арифметически

полные

алго­

рифмы, причем *Fi

есть

последовательность интервалов,

а п

— последовательность

рациональных

чисел.

Алго­

рифмы Wi и t i сохраняют

существенные

для

нас

свой­

ства алгорифмов ^ 2 и Тг, т. е.

 

 

 

 

 

 

(21)

при

любом k

и х,

если х

(k)

и

\f(x),

то

 

 

(22)

для

всякого

х такого,

что

\f(x),

можно

найти

k,

 

при котором

x^x¥\(k).

 

 

 

 

 

 

Обозначим через xh, yk концы интервала ^ ( й ) . По­ строим алгорифм 6 так, чтобы при любых k и т

<£{k, т) ~ D+ (xk, G(yk - xk) + 1 + m) v

V D~ (yk, G(yk-xk)+\

+ tn).

Смотрите также файлы