Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

260

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[гл. s

(23)

0<ak

, m

- X k < 2 - m ,

(24)

0 <

ук

-

bk, т <

2~т,

где через а&,m , Ьи,т

обозначены

левый

и правый

концы

интервала

(5 (k,

т).

Пусть

/ 2 ,

h — алгорифмы,

введенные

в п.

1 § 3 гл. 1

(эти алгорифмы осуществляют взаимно однозначное ото­

бражение множества натуральных чисел на множество

пар натуральных чисел, т. е. для любой пары т, k

можно

найти

i

так,

что 12 (/) =т= т,

Ц (/) =?= я). С

помощью

алгорифмов

it,

l\

объединим

интервалы

вида

(5 (k,

I)

в одну последовательность, т. е. построим алгорифм

Т

такой, что

4^(m)~S(/ 2 (m),

l\(m)).

Ввиду

(23) — (24)

для

всякого

х,

принадлежащего

Wiik),

можно

найти

т

так, что

x^(&k(m).

(Действи­

тельно,

в

качестве

т

можно

взять,

например,

число

max(G {х — xk),

G(yk

— х)).)

Следовательно,

для

всякого

эс

таких,

что х е

Wi (k),

можно

найти /, при котором

х и k

j ; e f

(I).

Из

этого

замечания также следует, что для

всякого

т

можно

найти

/ так,

что

концы

интервала

1 F(m)

принадлежат X F(/).

Построим алгорифм f i так, чтобы

т1

(т) с- т, (/'

(т)).

Обозначим

через

ат, Бт концы

интервала W(m).

Сде­

ланные

выше

замечания,

определение

алгорифма

х{

и

(21) — (22)

позволяют

сформулировать

следующие

свой­

ства W и

f|:

(25)

для

любого

и х,

если lf(x)

и х

принадлежит

сег­

менту

ak

A

bh,

то

\f{x)-x1(k)\<2-n-];

(26)

для

всякого х

такого, что

lf(x),

можно

найти

k,

при котором

x^W(k);

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

251

(27) для всякого k

можно найти / так, что

а*

и

ft*

Искомый алгорифм Ф получаем теперь применением

леммы 2 к алгорифму х ¥. При

этом,

ввиду (27),

будет

Таким образом, Ф действительно обладает

свойствами

(4) и (6) — (7). Алгорифм

т построим

следующим

обра­

зом. Пусть к — алгорифм, фигурирующий

в

утвержде­

нии 3) леммы 2. В рассматриваемом

случае

к арифме­

тически полн и при всяком

k

Ф (&)<=¥ (А (£)).

Алгорифм т

строим

как

композицию

алгорифмов к

и т{:

x(k)

~ т ,

(k(k)).

Ввиду

(25)

для Ф и т

выполняется

(5), чем и

закан­

чивается

доказательство.

Предлагаем

читателю

убедиться,

что

условие

непу­

такой, что для любой КФ /

F^

есть

псевдополиго­

нальная

функция,

причем

при

всяком

х,

если

\f(x),

то

\FiB(x)

и

x)-f{x)\<l.

3. О п р е д е л е н и е

8.

Всюду

определенную

КФ f

назовем

полной полигональной

функцией,

если

осуще­

ствимо

рациональное

дробление

г0

* . . . * г п

такое,

что:

1) f линейна

при

х s=: г0

и

х ^

гп, причем имеет рацио­

нальные

угловые

коэффициенты;

2)

f

линейна

на

каж­

дом сегменте

r{ A ri+l

(О ^

i sg; п — I)

и

принимает

ра­

циональные

значения

в

точках

г4 (0 ^

i ^

п).

Таким образом,

на

всяком

рациональном

сегменте,

не содержащем точек ru

f

является

линейной

функцией

с рациональными

коэффициентами.

О п р е д е л е н и е

9.

Пусть

F —

последовательность

всюду

определенных

КФ, f — КФ. Будем

говорить,

что f

является

пределом

F (или

что F

сходится

к / ) , и

писать

f = LimFn,

если

осуществим

алгорифм

W

такой,

что

rt-»oe

252

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

при всяком

х,

для

которого \f(x),

Wx

есть ПНЧ

и

Vkl(k

^Wx(l)=>\f

(х) -

Fk

(х) I <

2-0-

Основным результатом данного пункта является сле­

дующая

теорема

И. Д.

Заславского

и Г. С. Цейтина

( Ц е й т и н

[8]).

Т е о р е м а

2.

Для всякой конструктивной функции f

можно

построить

последовательность

полных

полиго­

нальных

функций

F так,

что

f =

Lim Fn

(т. е.

всякая

КФ является

пределом

п-> со

некоторой

последовательности

полных

полигональных

функций).

Поскольку

для

конструктивных

равномерно

непре­

доказательство известной аппроксимационной

теоремы

С. Н. Бернштейна

о равномерной сходимости полиномов

С. Н. Бернштейна

данной функции к этой функции

(см.

А л е к с а н д р о в

[1] или Н а т а н с о н [1]), из теоремы 2

вытекает следующее

интересное

С л е д с т в и е

1.

Всякая

конструктивная

функция

яв­

ляется

пределом

некоторой

последовательности

поли­

номов.

Приводимое ниже сжатое доказательство теоремы 2

почти

буквально

воспроизводит доказательство

данной

теоремы в работе

Ц е й т и н а

[8]. Основная

конструкция

вышает класса

функций в классификации Бэра

(см.

Н а т а н с о н [1]).

Введем

некоторые вспомогательные

понятия.

Назовем

КФ

ф полигональной

на

интервале

х V у,

падающая с ф на этом

интервале.

Назовем

КФ

ф частичной

полигональной

функцией,

если

существует

система

рациональных

интервалов

Го V So *

. . .

* rn

V sn

такая,

что

SQ

r\,

S\ *Сг2, ...

. . . , s„_i

гп,

ф

определена

только

на

интервалах этой

системы

и полигональна

на

каждом интервале л,- V Si

(О ^

t <

") •

Интервалы

rt V st

называются

интерва­

лами

определенности

КФ

ф- Частичную

полигональную

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

253

функцию назовем разделенной, если любые два

несовпа­

различные

концы.

F

расширяющейся,

Последовательность КФ

назовем

если для

любых

п,

х

из

\F(n, х) вытекает \F(n-\-

1, х)

и F(n,

х) =

F(n

-{- \,

х).

Очевидно,

всякая

расширяю­

щаяся

последовательность

является согласованной.

Почти очевидны следующие леммы.

Л е м м а

5.

Всякая

псевдополигональная

функция

является

объединением

некоторой

расширяющейся

по­

следовательности

частичных

полигональных

функций

и,

обратно,

объединение

всякой

расширяющейся

последо­

вательности

частичных

полигональных

функций

есть

псевдополигональная

функция.

Л е м м а

6.

Всякая

псевдополигональная

функция

яв­

ляется

объединением

некоторой

расширяющейся

после­

довательности

разделенных

частичных

полигональных

функций.

•

Л е м м а

7.

Всякая

разделенная

частичная

полиго­

нальная

функция

продолжима

до

полной

полигональной

функции.

Всякая

разделенная

частичная

полиго­

Л е м м а

8.

нальная

функция,

значения

которой

ограничены

сверху

по модулю

некоторым

числом,

продолжима

до

полной

полигональной

функции,

ограниченной

по

модулю

тем

же числом

(ср. стр.

2 2 2 ) .

Из лемм 6—8 непосредственно вытекает

Л е м м а

9.

1)

Для

всякой

псевдополигональной

функции

ф можно построить последовательность

полных

полигональных

функций

F такую,

что для

любого

х,

при

котором

l(f(x),

можно

найти

натуральное

I

так, что

при

п ^> /

F (п,

х).

Ф (*)

=

2)

Пусть

ф — псевдополигональная

функция,

z —

КДЧ, причем при всяком х,

если

!ф(х),

то | ф ( х ) | < 2 .

Тогда

фигурирующую

в

утверждении

1)

последователь­

ность F можно

построить так, что при всяком

п,

х

I F (п,

х) | ^

z.

Л е м м а

10.

Можно

построить

алгорифм

а

таким

образом,

что для

любой

КФ

f

алгорифм

а £ в

является

аоифметически

полным,

и