Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 192

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

269

определениях сделан существенный акцент на вопросе «эффективного перехода от е к б». Неудивительно, что конструктивные и классические определения, как уже отмечалось, во многих случаях приводят к аналогичным результатам.

Для пояснения некоторых отличий классической и конструктивной дифференцируемости приведем один пример. Можно построить везде определенную КФ Ф так, что

sin—

при

x Ф

0,

Ф(дс) =

 

 

 

0

при

л; =

0.

Очевидно, ф дифференцируема в каждой точке х та­ кой, что х Ф 0. Кроме того, ф дифференцируема в 0. Вместе с тем ф не является дифференцируемой на всей оси функцией. Действительно, если бы ф была диффе­ ренцируема на всей оси, то существовала бы всюду оп­ ределенная КФ, являющаяся ее производной на всей оси. Эта КФ имела бы, очевидно, конструктивный раз­ рыв в 0, что невозможно. Этот пример показывает так­ же, что производная конструктивной функции на интер­ вале не всегда может быть продолжена до всюду опре­ деленной функции.

§ 2. Теоремы о среднем значении

дифференциального исчисления

В этом параграфе будут доказаны некоторые кон­ структивные аналоги теорем Ролля и Лагранжа, а так­ же формулы Тейлора с остаточным членом в форме Ла­ гранжа и Коши.

О п р е д е л е н и е

1.

Будем

говорить,

 

что функция

f

возрастает

(убывает)

 

в

точке х,

если

 

осуществима

окрестность

точки х*)

такая,

что для

всякой

точки

z

этой окрестности f(z)

>

f(x)

(соответственно

f(z)

<.f(x))

при z > х и

f(z)<f(x)(f

 

(z)

> f(x))

при

z

<

x.

 

 

*) Окрестностью данной точки мы называем любой интервал, содержащий эту точку.

270

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

[ГЛ. 6

Л е м м а

 

1.

Если

функция

f возрастает

(убывает)

в

каждой

точке

интервала

 

xVy*),

то

она

возрастает

(убывает)

на

сегменте х А

 

у.

 

 

 

 

 

 

f

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим случай,

когда

возрастает

в каждой

точке

xV

у.

Предположим, что су­

ществуют

точки

х \ ,

х 2 из

xV

у

такие,

что

Х\ <

х 2

и

f(x\)>f(x2).

 

 

Рассмотрим

 

середину сегмента

х х Д х 2

—

точку

*'

Х г

.

Так как f(xx)>f(x2),

то

мы

можем

ука­

зать верный

член

дизъюнкции

 

 

 

 

 

 

 

(f(x2)<f(^))v(f(^)<Hxl)).

Если мы установили, что верен первый член этой дизъюнкции, то рассмотрим сегмент *' *2 Д х 2 ; если же установлено, что верен второй член дизъюнкции, то

рассмотрим

сегмент

х х А

*' ~£ *2

. Обозначим

получив­

шийся сегмент через

х 3

Д х 4

. Очевидно, х 3

Д х 4

s х { Д х 2 ,

f{xi)>f{xi)

и х 4 — х 3

=

*2

2

*' .

Проведем

аналогичное

построение

для х 3 Д х 4

и

т. д.

 

 

 

Используя эти соображения, можно построить вло­

женную последовательность

сегментов 35 так,

что

 

3D (0) =F

Xi Д

х2,

 

 

и

(2)/ (КЛ (3) («))) > / (/Сп (3) (га)))

(через |35(га)| обозначается длина сегмента 35(га); алго­ рифмы КЛ и /С" перерабатывают всякий промежуток со­ ответственно в его левый и правый концы).

Пользуясь теоремой 2 § 2 гл. 3, построим КДЧ г, принадлежащее всем сегментам последовательности 35.

Очевидно,

z e x V i /

и,

ввиду (1) — (2), f не может воз­

растать в

точке г,

что

противоречит условию. Следова-

*) Это означает, что существует алгорифм, перерабатывающий всякую точку интервала xV у в фигурирующую в определении 1 окрестность этой точки.

 

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

271

тельно, при любых хи

х2

е л

V у таких, что х\ < х2, вы­

полняется

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

Пользуясь

(3) и теоремой о неразрывности

конструк­

тивных функций, можно

(ср. лемму

4 § 4 гл. 5) пока­

зать, что (3)

выполняется для любых

Х\, х2 из

сегмента

х А у таких, что Х\ <

х2.

 

 

 

 

Пусть теперь Х\ и х2 — любые две точки из х А у та­

кие, что х\ <

х2. Найдем х\ и х'2 так, что

 

 

Х^

 

Х^

Х<2 '^С Х<£,

 

Очевидно, х\ и х'2 принадлежат интервалу х v У- Следовательно, / возрастает в этих точках. Пользуясь этим, найдем х" и х" так, что

X j Х^ ^2 ^2

/« ) < / « ) •

/К ) < / ( 4 ) -

Поскольку выполняется

f ( * 2 ) > / « ) .

то мы получаем

f (Xj) < f (х2),

что и требовалось.

Отметим вариант данной леммы с менее ограничи­ тельными условиями на /. Будем говорить, что f слабо

возрастает (слабо убывает) в точке х, если

не

может

не существовать фигурирующая в определении

1

окрест­

ность этой точки. Почти дословно так же, как и в слу­

чае леммы

1, можно доказать, что если функция f слабо

возрастает

(слабо

убывает)

в

каждой

точке х V у, то

при любых

хи х2^хАу

таких, что

Х\ <. х2,

выпол­

няется ~]~](f{Xi)<f

(х2)) (соответственно ~П (f (*i) > f (х2))).

Последнее,

однако,

равносильно

(теорема 22 § 3 гл. 2)

f ( * i ) < / ( * 2 )

(соответственно

f(xi) >

f(x2)).

Таким

272

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

 

[ГЛ. 6

образом,

если

/

слабо

возрастает

(слабо

убывает)

в

каждой

точке xV

у,

то f

возрастает

(убывает)

на

хАу.

Из леммы 1 вытекает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1.

Пусть

КФ

f

является

производной

функции

f

на xV

у и всюду

на х V у f'(t)>0

(f'(t)

< 0 ) .

Тогда

f возрастает

(убывает)

 

на х А

у.

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

1.

Пусть

КФ

f

является

производной

функции

f

на xV

у и всюду

 

на xVy

f'(t)^0

 

(f (t)

^

0).

Тогда

f не убывает

(не возрастает)

на х

Ay.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим,

например,

слу-

чай, когда

f'(t)^0.

 

 

Обозначим

 

через

/„

такую

функ­

цию, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fn(t)

= f(t)

+

 

2~n.t.

 

 

 

 

 

 

В

силу

теоремы

1

все

функции

fn

возрастают

на

А: А у. .Пусть Х\ <

х2

и Х\, х2

е

х А у. Тогда

при любом п

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

fn (*i) <

fn

(х2),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(xl)

+

2-n-xl<f(x2)

 

 

 

+

2-n.xi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ( * 2 ) - f ( * , ) > 2 - n . ( x , - * 2 ) .

 

 

 

 

 

Переходя в этом неравенстве к пределу по п, полу­

чим

 

 

 

 

 

 

 

f(x2)>f(xl),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось.

 

Пусть

f[ =

 

f2

на

xs/У

и

f[,

f2

С л е д с т в и е

2.

 

являются

производными

на х V у функций

f\

и f2.

Тогда

всюду

 

на х А у

 

 

h (0 =

 

Ы*) +

с,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где с = fi(x)

—

f2(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это утверждение вытекает из следствия 1, поскольку,

очевидно,

функция

 

f\ — f2

 

одновременно

не

убывает

и

не возрастает на х

 

Ау.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем

теперь

некоторый

аналог

теоремы

Ролля.

Т е о р е м а

2.

Пусть

х V у — произвольный

интер­

вал.

Невозможны

 

КФ f и f

такие,

что f

всюду

опреде­

1)

 

лена

на

хАу,

f(x)

= f(y),

 

f

является

производной

 

f

Смотрите также файлы