Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 196

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ	259
f(x)^f(y)-	Возникает естественный вопрос: нельзя	ли

исключить различение этих двух случаев, т. е. построить алгорифм, решающий интересующую нас задачу незави

симо от того,

какому

из

двух неравенств

f(x)s^.f(y),

f(x)^f(y)

удовлетворяет /. Ответ на этот вопрос от

рицательный: невозможен

алгорифм, перерабатывающий

запись

нигде

не

нулевой

на

О Л 1 функции

такой,

что

f ( 0 ) > f ( l ) < 0 ,

КДЧ

из

0 А 1 , придающее

значение,

равное

0. Вместе с тем, если

f(x)¥=f{y),

то

мы можем

указать верный член дизъюнкции (/ (х)

< / (у))

V (/ (х)

f(y)),

поэтому для таких функций / теоремы 2—3 мо

гут

быть переформулированы

с заменой условия /(x)s^

0, / ( У ) ^ 0

на

f(x)

-f (у) ^

0 (в случае теоремы 2) и

условия

f (х) ^

^ \(у)

на

условие min(f(x),

f(y))-^

z <

max (/(х),

f(y))

(в случае теоремы

3).

Ясно, что

теорема

может быть

выведена

из тео

ремы 2. Теорема 2 в свою очередь вытекает из приво

димых ниже лемм

1 и 3.

Алгорифм

у назовем

регулято

О п р е д е л е н и е

ром невырожденности

функции

f на

х А у,

если

он

пере

рабатывает

любой

интервал Х\ V ylt

включенный

в х V у,

в КДЧ,

принадлежащее

этому

интервалу

такое,

что

f(Y(*i

о.

На время доказательства следующей леммы обозна

чим для сокращения записи через Ж множество

слов

вида

3, х А

у, £уЗ> г д е / — функция такая, что/(х)

/ ( [ / ) > 0,

х Л у — невырожденный

сегмент, у — регулятор

невырожденности

на х Л

у.

Л е м м а

Можно

построить,

алгорифм

б 1 ,

перера

батывающий

всякое

слово

£/3,

х А

у, £уЗ из Ж

КДЧ,

принадлежащее

сегменту

х А у и обращающее

в 0.

Доказательство

этой

леммы

проводится

при

помощи

простой модификации процесса последовательного деле

ния сегмента пополам (ср. Ф и х т е н г о л ь ц [ 1 ;				стр. 168]),
Обозначим через Р произвольное слово вида				£ /3 . х А у,
C"Y3> принадлежащее Ж. Через Х\ V у\			обозначим произ
вольный интервал		такой, что Х\,у\<^х	Ау.	Наконец,
для Х\ V yi через	щ,	а% а>з соответственно обозначим про
межутки х, + j	• (yi	— X ] ) V * i + J - • (Ух -		Xi А у (©,),

260

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. я

Построим

алгорифм

211

так,

что

31' (Р,

у,) ~

sgn (/(у (©,))).

По определению

Y имеем

(1)

!2Т (Р,

х{

г/,),

(2)

21ЧР,

* i A i / , ) -

1 = / ( Y W ) > 0 ,

(3)

. 21ЧР,

* i

Д i / , ) - -

1 = / ( Y ( ( O , ) ) < 0 .

Построим алгорифмы 212, 2Х3

(ср.

п. 7

§ 1

гл. 1)

так,

что

[ и 2 ,

если

2I1 (Р, А;, Д

г/,) =Р 1,

{ F ' X l Л У 1

> ~ \ щ ,

если

%l(P, хх

A y , ) = s = -

213 (Р, 0)=v=xA г/,

313 (Р, /г-f

1 ) ~ 2 1 2 ( Р ,

313 (Р,

/г)).

Используя

(1)—(3),

нетрудно

показать

(индукцией

по п), что ЗГр есть вложенная последовательность сег

ментов, причем				(если для	краткости		обозначить		через
ип,	vn	и t„ концы и длину сегмента 213 (Р,						п))
(4)				/ п < ( т Г " - ( У - * ) .
				.3
(5)				!Ы<о,
(6)				f(vn)>0.
	Пусть 914		— такой алгорифм,			что	(см. лемму		6 § 4
гл.	2)	2I4	(Р,	п) са W (Р, 2 • (п +		G+ (у -		*))).
		2I4	(Р,	п) са W (Р, 2 • (п +		G+ (у -		*))).
	Из	(4) — (6)		следует, что	up	— регулярная вложен

ная последовательность сегментов, причем (если обозна*


чить через йп,	vn	концы сегмента ЗХ4(Р, п))
(7)		2I4 (P, 0)sxA		у,
(8)		/ Ы < 0 ,
(9)		/ ( б „ ) > 0 .
Пользуясь	теоремой о		вложенных сегментах (теоре
ма 2 § 2 гл. 3),		построим	алгорифм (51 так, что

«' ( P ) ^ l i m ( 2 ) ( E ^ 3 ) .

		ТЕОРЕМЫ		О СРЕДНЕМ		ЗНАЧЕНИИ					261
Этот алгорифм перерабатывает Р в общую точку по
следовательности			пр.	Ввиду	(7)		(51 (Я) е		х Д (/.	Если
f{&l{P))	>	0, то из (8) легко			следует,			что	f имеет	кон
структивный		разрыв		в точке		(51	(Р).	Следовательно,
f ( g 1 (Р))	^	0. Точно так же показывается,									что
f(S'(P))	> 0 . Следовательно,				f(^(P))			=	0, чем	и	за
канчивается		доказательство.
Л е м м а		2. Пусть х V у — интервал,						f — функция			та
кие, что при		любом	рациональном			r^xVy			f(r)	=	0.

Тогда

при

любом г е ^ Д у

f(z)

= 0.

Эта лемма без труда следует из неразрывности /«

Подробное

доказательство

предоставляется

читателю

(заметим,

что

эта

лемма

вытекает из

следствия

4 § 2

гл.

9).

Можно

построить

алгорифм

S2 так, что

Л е м м а

для

любой

функции

и невырожденного

сегмента

х А у,

если

f — нигде

не

нулевая

на х А у функция,

то

(If/з

является

регулятором

невырожденности

на

х А

у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

произвольного

интервала

Х\ V у\

обозначим

через

Mx,vу,

и Ж2,Х^У1

соответ

ственно множество всех рациональных чисел, принадле

жащих	Х\ V г/ь и множество рациональных чисел из
Х\ V уи	удовлетворяющих условию f(r) Ф 0.

Обозначим через Ж] множество слов в Ч, для ко торых

!G(I/(P)I) .

Согласно § 3 гл. 1 Ж) перечислимо. Ясно, что

Ml	2	х, V Ух =	3	1
Ml		х, V Ух =		Л Жх, V Ух-

Следовательно, Ж^.х^у, перечислимо. По теореме 7 § 3 гл. 1 построим алгорифм 91' так, что при любом


интервале х\ v«/i и функции / ЩВ.Х^УХ		является		строй
ным алгорифмом, перечисляющим Ж\ *,v#i'
Построим, наконец, алгорифм	©2	так, что
£ 2 ( с73 . *> vyJ^Wim,	*i vui,		о).
Пусть Xi < уь хи ух & х А у	и f — нигде		не	нулевая

на х А у функция. Тогда по лемме 2 множество ж], *,v г/, не пусто. Следовательно, ! £ 2 ( Ш . * i V # i ) и G 2 ( £ /3, * i V # i ) s

262

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

е М \ ,

хх v гл> т. е. алгорифм & обладает

требуемым свой

ством.

Из

теоремы

легко

усматривается

следующее

ин

тересное

предложение: если

х А у —

невырожденный

сегмент,

f(x)^.Q,

f(y)~^0

и /

не имеет

рациональных

корней

на х А у,

то можно указать КДЧ,

являющееся

корнем

Из теоремы 2 немедленно вытекает

конструктивный

вариант

второй

теоремы

Больцано — Коши

для

строго

монотонных функций (ср. Г ж е г о р ч и к

[2], Л а к о м б

[1], 3 а с л а в с к и й [4]).

Т е о р е м а

Можно

построить алгорифм

331

(ЗЗ2 ),

перерабатывающий

всякое

слово

euda^f^,

хАу,

г,

где

х < у,

f — возрастающая

(убывающая)

на

х А у

функ

ция,

z — КДЧ,

причем

f(х)

z ^ / (у)

(f(y)^.z^

•*С/(х)), в КДЧ,

принадлежащее

х А у

и придающее }

значение,

равное

г.

Нетрудно

видеть, что алгорифмы ЗЗ' и ЗЗ2 могут

быть

«объединены в один алгорифм», т. е. осуществим

алго

рифм

33, который

может

фигурировать в теореме

4 как

в качестве ЗЗ1, так и в качестве ЗЗ2.

Теорема 1 показывает, что условие

строгого возрас

тания

(убывания)

в теореме 4 является

существенным.

3. Полученные выше результаты позволяют дать от

рицательный ответ на вопрос о существовании

знако-

переменных функций, не обращающихся в 0.

С л е д с т в и е

2. Каков

бы ни был

сегмент

хАу,

не

возможна

функция

f такая, что f(x)-f(y)

^ 0

и f не об

ращается

в 0 на х А у.

С л е д с т в и е

3. Каков

бы ни был

сегмент

х А у, не

возможна

функция

f и КДЧ z такие, что

min (f (х), / (у)) < г < max (/ (х), f (у))


и f(t) ф	z при любом		t^xAy.
Следствия 2—3 выводятся из теорем 2—3. Например,
если всюду на х А у			f(t) ф 0, то х ф у и f — нигде не
нулевая	на х А у	функция. Тогда		(можно,		очевидно, не
теряя общности,		считать, что f(x)		^	0, f (у)	^ 0) по тео
реме 2 f имеет корень на х А у.
Следствия 2—3 можно рассматривать как конструк*
тивные	аналоги	первой и второй			теорем	Больцано —•

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно