Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

274

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

[ГЛ. 6

Т е о р е м а

3.

Пусть

хVу

—

интервал.

1)

Невозможны

КФ

{ и f

такие,

что f

всюду

опреде­

лена на х А

у, \' является

производной

f на xV

у

и

всю­

ду

на хЧ

у

2)

Пусть

КФ

f

— производная

функции

f

на

х V

у.

Тогда

не

может не

существовать

z

из

х V у

такое, что

'

v

'

у —

х

О п р е д е л е н и е

2.

Пусть f — функция,

с —

КДЧ.

Будем

говорить,

что

функция

f

удовлетворяет

на

про­

межутке

х%у

условию

Липшица

с константой

с,

если

при

любых

ti,

t2^xXy

выполняется

\f(ti)

—

f ( ^ ) | ^

< c - | * i —

Пусть функция

f

является

произ­

С л е д с т в и е

3.

водной

функции

f

на

хАу

и

КДЧ

с ограничивает

f

на

хАу

(г.

е.

| / ' ( 0 | ^ с

пРи

любом t<=xAy).

Тогда

f

удовлетворяет

на

х А

у

условию

Липшица

с

констан­

той с.

Несложное доказательство следствия 3 предостав­

ляется

читателю.

Функция,

имеющая

на данном

сег­

С л е д с т в и е

4.

менте

ограниченную

производную,

равномерно

непре­

рывна

на этом

сегменте.

Пользуясь

теоремой

2,

нетрудно

обычными

способа­

извести вывод формулы

Тейлора

с остаточным

членом

в форме

Шлемильха — Роша,

приведенный

в книге

И л ь и н а

и П о з н я к а

[1]. Прежде чем сформулиро­

то через fW (1 ^

i ^

п)

обозначается ее г-я произвол-,

ная, а через Тп

многочлен Тейлора п-то порядка этой

функции, т. е. такой

алгорифм, что при

любых КДЧ х

и а

Тп (х, a) = f(a) +

Д ^

-

(х - а) + ... + -

1 ^ - (х - а)\

Я а . п + 1 ( * ) = / ( * ) —

тп(х,

а).

Т е о р е м а

4.

Пусть

a V x — интервал,

р —

любое

КДЧ,

большее

нуля.

1)

Невозможна

п -4- 1

раз

дифференцируемая

на

а V х

функция

f

такая,

что при

любом

t e a V

х

2)

£сли

функция

f

п -f- 1 раз

дифференцируема

на

а V х, то не может не существовать

г

из

а V л: такое, что

« - + . м - ( , - | ' -

£ 7

, )

~ "

•>'"•'(«)•

Полагая

в

теореме

4

р = н +

1

и

р =

1,

получаем

аналоги теоремы Тейлора с представлением

остаточного

члена

соответственно

в

форме Лагранжа

и

Коши.

С л е д с т в и е

5. Пусть

а V х —

интервал.

1)

Невозможна

п +

1

раз

дифференцируемая

на

а V х

функция

f такая, что при

любом

GE а V х

2)

£слы

/ — n + i

раз

дифференцируемая

на

a V x

функция, то не

может не

существовать

z

из

а V л: такое,

что

Яа.п+1 (х) — {

\ n

+ \)i

• fin+l)

(*)•

С л е д с т в и е

6. Пусть а V х —

интервал.

1)

Невозможна

гс+1

раз

дифференцируемая

на

a V x

функция

f

такая,

что при

любом

t G A V Х

2)

£слы

функция

f

п +

1 раз

дифференцируема

на

а V х, го не может не существовать

z

из а V х

такое, что

НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ

АЛГОРИФМОВ

277

Л е м м а

1.

Пусть

функция

f

является

производной

функции

f

на

сегментах

х А у

и у Az

и

алгорифмы

W1,

W2,

W3, р таковы, что

выполняется

1)

Пр

(xAy,f,f,

Wl);

2)

Пр (у A z, f, Г,

W)\

3)

р — регулятор

непрерывности

функции

f

в

точ­

ке

у;

при

любом

tun

4)

W*(t, n)~max(Wl(y,

п +

2),

W2(y,

п + 2),

Wl

(min (*, у),

n +

2),

W2

(max (t,

у), n +

2),

p (n + 1)).

Тогда

f

является

производной

f

на

x A z,

причем

вы­

полняется

Ylv(xAz,

f,

Г,

W*).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

доказать,

что

вы­

полняется

Пр (х A

z, f,

Г,

W%

Поскольку

для

любого

t

из

х Az,

очевидно,

min (t, у)

е

х

А

у, max

(t, у) е

у А

г,

то

при

любом

t из

х Az

алгорифм

W]

является алгорифмом типа

{36-+Ж).

Далее, очевидно, что если t и t\

одновременно

принад­

лежат любому из сегментов хАу

или

у A

z и

удовле-

творяют

неравенству

11 — г, | < 2

1

,

то

для

них

вы­

полняется

(1)

I f

-f(t)-

П О

• (/, -

0 K 2 - " - 2

-\ti—t\.

\ t ] ~ t \ < 2 - w 4 U n ) .

Предположим, что

(2)

I / ( * , ) - f (t) - Y (t)-(ti—t)\>2~n-\tl—t

|.

Предположим, кроме того, что

(3)

t е= х А у.