Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 194

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ТЕОРЕМЫ

О СРЕДНЕМ

ЗНАЧЕНИИ

263

Коши (см. Ф и х т е н г о л ь ц

[2])*). Так же, как

и в

слу

чае теорем

вложенных

сегментах

(гл. 4,

2),

эти

результаты

могут

быть усилены

в следующем

направле

нии ( Ц е й т и н

[6]): 1) для каждой функции / и

сегмента

х А

у таких,

что

f(x)-f(y)^0,

можно указать

квази

число, условно принадлежащее хАу

и условно

придаю

щее / значение, равное 0; 2) для каждого сегмента

х А

у,

функции /

КДЧ z

таких, что

min(/(x), f(y))

< ; z

max(f(x),f(y)),

можно

указать

квазичисло,

условно

принадлежащее хАу

и условно

придающее f

значение,

равное z.

Таким

образом,

здесь

алгорифмические

трудности, возникающие при нахождении решений урав

нений f(x) = z для	промежуточных z, связаны не столь
ко с нахождением	последовательности рациональных

приближений к корню (такую последовательность мож но построить), сколько с оценкой скорости сходимости'

этих	приближений.
В	заключение параграфа			приведем		теорему,		трак
тующую несколько с другой				точки	зрения		рассмотрен
ные нами вопросы.
Т е о р е м а		5. Можно	построить		алгорифм		31,	перера
батывающий всякое слово			euda^f^,		х А	у, п, где х А			у —
невырожденный		сегмент,		f — функция		такая,			что
f(x)-f(y)^0,		в рациональное		число	из	x V у	такое,		что
		\| / ( Я ( Е / 3 . хАу,			п))\<2-\

Доказательство теоремы 5 приводится в том же по рядке идей, что и доказательство леммы 3, и опирается, помимо следствия 2, на следующую лемму, аналогич


ную лемме 2.				Если	для	любой рациональной			точки	г
Л е м м а			4.
интервала		xVу		f ( r ) < z			(f(r)^zz),	то	всюду	на
сегменте		хАу		f(t)Kz	(соответственно			f(t)^z).
Теорема			5	является		своеобразным		«е-вариантом»
классической				теоремы Больцано — Коши				и	представ
ляет	интерес		в тех ситуациях, когда вместо нахожде
ния	корня		данной		функции		можно удовлетвориться

*) Интересной особенностью этих аналогов является отсутствие в их формулировках требований непрерывности, которые для кон структивных функций выполняются автоматически.

264 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

нахождением точек, где функция принимает достаточно малые по модулю значения. Теоремы такого типа, по-

видимому,	рассматривались впервые Гудстейном (см.
Г у д с т е й н	[2]). Отметим, что аналогичные «е-варианты»

относительно корня функции не имеют места: например, немного изменив доказательство теоремы 1, нетрудно показать, что для фигурирующей в этой теореме функ

ции fo невозможен алгорифм					а,	перерабатывающий			вся
кое г, для которого /о(0)				< 2 < ! f o ( l ) ,			в КДЧ	таким		об
разом, что	f0	не	может	быть		всюду	отлична	от	z	на
интервале	a(z)	-	\| v « ( z )	+	\| .

Г Л А В А 6

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е К О Н С Т Р У К Т И В Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й

В этой главе мы коротко остановимся на вопросах дифференциального исчисления для конструктивных функций. В своей формульной части конструктивное дифференциальное исчисление весьма напоминает традиционную теорию; в частности, имеют место обычные формулы дифференцирования элементарных функций, дифференцирования сложной функции, диференцирования суммы, разности, произведения и частного дифферен цируемых функций. Доказательства этих предложений, которые в принципе мало отличаются от доказательств соответствующих предложений классического диффе ренциального исчисления, мы не приводим, уделяя за этот счет большее внимание вопросам, в которых действительно сказывается конструктивная специфика. Изложение группируется в основном вокруг теорем о среднем значении дифференциального исчисления. Эта проблематика для конструктивных функций исследова

лась

Ц е й т и н ы м

[6],

которому

и принадлежит

боль

шинство излагаемых

результатов.

§ 1. Основные

определения

О п р е д е л е н и е

I . Пусть

f — конструктивная

функ

ция, t — КДЧ

и f определена

в точке t.

КДЧ

будем

называть

производным

числом

КФ

f в

точке t

(относительно

промежутка

х X у),

если

мож

но

построить

последовательность

натуральных

чисел

таким

образом, что при

любом п

для

всякого

КДЧ

(для

всякого

< i e x

X ;/),

удовлетворяющего

неравен

ству \t\ — t\ <.

2~^п\

выполняется

\f(ti)

\f(t1)-f(t)-z.(tl-t)\^2-n.\tl-t\.

2) Конструктивную функцию будем называть диф ференцируемой в данной точке (относительно данного

266

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

КОНСТРУКТИВНЫХ

ФУНКЦИЙ

(ГЛ. 6

промежутка),

если

осуществимо

КДЧ,

являющееся

про

изводным

числом

этой

функции

в рассматриваемой

точке

(относительно

данного

промежутка).

Отношение между /, z, t (х\у)

и алгорифмом б, вве

денное в разделе 1 ) определения

1 ,

мы

будем сокращен

но выражать

записью

Пр (t,

б)

(соответственно

Пр (х X У, t,

6)).

Для выражения того обстоятельства, что КДЧ z яв

ляется производным числом КФ f в точке /

(относитель

но промежутка хХу),

мы будем

использовать

запись

Пр (/,

f, г)

(соответственно

Пр(хХ У>

U /.

z)).

Очевидно,

если

t — tu

z =

g = f,

то

Пр(/,

f, z,

6) =

Пр(г„

z„

б),

Пр(*. Л г ) а П р ( < „

z,).

Если,

кроме

того,

х =

хи

у — у\,

то

Пр (х X У, t,

6) =

Пр (xl

X уi,

z,,

6),

Пр (X

X У,

Z) =a Пр (X,

X Уi, tu

g, Z , ) .

О п р е д е л е н и е

2. Пусть

f — всюду

определен

ные конструктивные

функции.

Будем

говорить,

что f

является

производной

на

всей

оси,

и писать

П р ( - о о

°°,

П,

если

при

всяком

выполняется

пр(*. и

ПО),

т. е. если

можно

построить алгорифм

таким

образом,

чтобы при любом

выполнялось

П р ( Ш ' ( 0 ,

щ .

Будем

говорить,

что функция

дифференцируема

на всей

оси

(везде

дифференцируема),

если

можно

по

строить

функцию

являющуюся

ее производной

на

всей

оси.

§ 11	ОСНОВНЫЕ	ОПРЕДЕЛЕНИЯ	267
Если /, У и	W связаны отношением,		введенным в
1) определения	2, то мы	будем выражать	это записью

П р ( - о о V + oo, /, /', W).

Очевидно,

если

/ = = / ,

!' =

![, то

п Р ( - о о

oo,

/',

г ) ^ п Р ( - о о

°о,

П р ( - о о

V +

oo. /,

П ^ П р ( - о о

oo,

f \ ) .

О п р е д е л е н и е

Пусть КФ f и f

определены

во

всех

точках промежутка

хХу-

Будем

говорить,

что

является

производной

на

X у,

писать

Пр (х X у,

/ ' ) . если

при

всяком t

из

х X У имеет место

Пр(хХу,

f'(t)),

т. е.

осуществим

алгорифм

такой,

что при

любом

t е

х X У

выполняется

Пр(хХу,

f'{t),

Wt).

Будем

говорить,

что функция

дифференцируема

на

промежутке хХ У, если

можно

построить

КФ

/',

яв

ляющуюся

производной

f на

хХУ-

Отношение между

хХ У, f, }' и W, описанное

раз

деле

1) определения

3, мы будем выражать записью

пр (х х

у,

Г,

W).

Очевидно,

если

х =

х{,

y — yv

f{,

f\,

то

Х У

ХХУ

Пр (х X У, f,

/', W = . Пр (*, X yv

f'v

Г)>

Щ(хХу,

/ О ^ п р ^ Х г / , ,

/;).

Нетрудно также заметить, что в случае, когда х X У является сегментом, функции / и /' в определении 3 можно, не теряя общности, считать всюду определен ными.

В аналогичном порядке идей определяется много кратная дифференцируемость конструктивных функций на всей оси или на некотором промежутке. Точная

268 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. в

формулировка соответствующих определений предостав ляется читателю.

Теорема о полноте КДЧ (гл. 3, § 2) позволяет по лучить достаточные признаки дифференцируемости на всей оси и на данном невырожденном промежутке, в ко торых используются лишь значения самих испытуемых функций. Мы остановимся, например, на случае, когда нас интересует дифференцируемость данной функции на

всей оси.

Пусть

f — везде

определенная

О п р е д е л е н и е

КФ.

Алгорифм

будем

называть

регулятором

диф

ференцируемости

себе

функции

на

всей

оси,

если

при

любом

х №х

есть ПНЧ

и для

любых

п, хх,

х2

таких,

что \xl

— x\<2~w{x'n),

\хг

— х\<

2~Wix- п

выполняется

I if

(*.)

- f (*)) •

(*2

х) -(/

(х2) -

/ (х))

• (*,

х)

| <

2~п

• | х2

— х | • |*,

— х |.

Функцию

назовем

дифференцируемой

себе на

всей оси, если можно построить

регулятор

дифференци

руемости

в себе этой функции

на

всей

оси.

Т е о р е м а

Функция

дифференцируема

на

всей

оси

тогда

и только

тогда,

когда

она

дифференцируема

в себе

на

всей

оси.

Другими словами, располагая алгорифмом W таким,

что при некоторой функции ] ' выполняется

П р ( - о о v

oo,

I j ' ,

W),

можно построить регулятор дифференцируемости в себе

функции f на всей оси, и, обратно, располагая			регуля
тором дифференцируемости в себе функции /			на	всей
оси, можно построить функцию f	и	алгорифм	W	так,
что имеет место
Пр ( - оо V + оо, f,	Г,	W).

Читатель безусловно отметит значительное сходство приведенных определений, связанных с дифференцируемостью конструктивных функций, с соответствующими определениями классического дифференциального ис числения, по сравнению с которыми в конструктивных

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно