Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 186

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

282	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 6

относительно			алфавита		Ч0, что и в гл. 4. Нам существенно
следующее свойство ф: невозможен							алгорифм		91 над		Ч0
такой,	что	при		любом	Р е	если	!\|)(Р),	то	!51(Р)		и
Я(/>)=5=Л,		а если П ! £ ( Р ) ,				то !91(Р) и		%(Р)фА.
Обозначим через V такой алгорифм, что
			К ( Р ) ~ \| х я ( [ £ ] ( Р , л ) ^ = Л ) ,
и построим			алгорифм		g так, чтобы		при любом			Pan
		•	0,	если		л ) # Л ,
Е(Р, я ) ~			1,	если	[ЩР,	п)^А	и	n^V(P),
		•	0,	если	[Ф](Р, л ) т = Л		и	пфУ{Р).
Очевидно, при любом Р алгорифм							€ Р является ПНЧ,
причем
(9)	если		~]\$>(Р), то при всяком				I
				6 (Р,		0 - 0 ,
(10)	если		!ф(Р) и		оканчивает		работу	над Р		точно
	за	k	шагов, то		при	1фк
	и				S(P,	о - о
	и

<Е(Р, *)=== 1.

Рассмотрим при каждом Р в Ч0 функциональный ряд

(И)	S M O - U .

Поскольку при любом Р, ввиду (8) — (10),

1 М 0 - Р , - ( 0 1 < 2 - ' ,

этот ряд при любом Р равномерно сходится на всей оси. Пользуясь теоремой о полноте КДЧ, построим алго рифм Н такой, что ЯР есть функция, к которой схо дится ряд (11).

Предположим теперь, что алгорифм, о котором идет речь в теореме, построен. Обозначим его а. Построим алгорифм cci такой, что

а 1 ( Р ) ^ а ( £ Я Р 3 ) .

НЕВОЗМОЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИФМОВ

283

Очевидно,

если

П!ф(Р),

то

ЙР

— функция,

равная

нулю

на

всей

оси. Следовательно, в этом

случае

!ai(P)

и а,\(Р)

есть КДЧ, равное 0.

Если же 1$(Р)

и ф оканчивает

работу

над Р

точно

за k шагов, то на

всей оси ЙР =

Pk. Таким

образом, в

этом случае

!ai(P)

и ai(P)

есть

КДЧ, равное 1.

Построим теперь алгорифм а2

так, чтобы

[

Л ,

если

sgn(a,(P) — у ) =

а2(Р)^\

если

— 1.

sgn [cii (Р) — у ) =

Из

сказанного

ясно,

что если

\$(Р),

то \а2(Р)

а 2 ( Р ) = ^ ' Л , е с л и ж е П ! $ ( Р ) ,

то \а2(Р)

и а2(Р)

0 ф

Л•

Такой алгорифм, однако, невозможен.

Читатель без труда может усилить теоремы 1—2 в

следующем направлении: в случае функций f и

по

строенных в доказательстве

теоремы

1, невозможен

ал

горифм, находящий требуемое КДЧ с точностью, боль шей чем у', в случае теоремы 2 невозможен алгорифм, находящий требуемое КДЧ с точностью, большей чем у . Ясно также, что обе эти теоремы сохраняются для класса бесконечно дифференцируемых функций.

Г Л А В А 7

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ

В данной главе излагаются основы интегрального исчисления для конструктивных функций. По поводу от ношения этой теории к традиционному интегральному исчислению можно было бы повторить вводные замеча ния к гл. 3 и 6.

§ 1. Основные определения. Теорема об ограниченности интегрируемых функций

1. Мы будем

пользоваться

понятием дробления,

вве

денным

в гл. 5.

Напомним,

что дроблением называется

всякое слово

вида

(1)

х 0 * х, * . . . *х„,

где х0 ^

х\ ^

.. . ^

х„. Если

х = Хо и у = х„, то

дробле

ние (1)

называется

дроблением

сегмента

хАу.

О п р е д е л е н и е

Дробление

(1)

назовем

пра

вильным,

если

выполняется

один

из

двух

случаев:

1) п=\;

п >

все

х{ (О <

i <

п) —

рациональные

числа и Xj <

Xj+i

/ ^

п —

1).

Например, для любого сегмента хАу

слово

х*у

является

правильным

дроблением этого

сегмента.

В данной главе, за исключением специально огова риваемых мест, используются только правильные дроб ления, поэтому прилагательное «правильное» обычно

опускается.				Пусть		(1) —правильное			дробле
О п р е д е л е н и е			2.
ние	сегмента	х А у. Интегральным					дроблением		сегмента
х А у назовем		произвольное			слово		вида
(2)	х0	* х, * . . . * х„,			у0	* ...	* уп_и
где	yj		1)—КДЧ,			причем		X j ^ y j ^ . x j + \ ,
Про	интегральное		дробление			(2)	будем	говорить, что
оно	отвечает дроблению			(1),

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

285

Все

фигурирующие

данной

главе

конструктивные

функции

предполагаются

всюду

определенными.

Так

же, как и раньше, такие КФ для краткости

называются

просто

функциями.

Пусть

f — функция,

(2)—инте

О п р е д е л е н и е

гральное

дробление

сегмента

х А у. Слово

вида

(3)

£В,

* 0

* * i

* • • • * *п,

Уо *

• • • * Уп-1

будем

называть

интегральной

суммой

функции f

на

сег

менте х А у. Про интегральную

сумму

(3) будем

также

говорить,

что

она

отвечает

интегральному

дроблению

(2) и дроблению

(1).

О п р е д е л е н и е

КДЧ

/ (Уд • (xi+i

— х{)

будем

1=0

называть

значением

интегральной

суммы

(3).

Можно построить алгорифм J, перерабатывающий

всякую интегральную сумму в ее значение.

О п р е д е л е н и е

Пусть

(1)

—правильное

дробле

ние. КДЧ

max

(х, — xi-i) будем

называть

измельчен-

ностью

\<1<п

Это КДЧ

будет

также

назы

этого

дробления.

ваться

измельченностью

интегрального

дробления

(2) и

интегральной

суммы

(3).

Можно построить

алгорифм

я,

перерабатывающий

всякое дробление, интегральное дробление и интегральную сумму в их измельченность.

О п р е д е л е н и е

ПНЧ

б назовем

регулятором

ин

тегрируемости функции

на

сегменте

х А

у,

если

при

любом

п для

любых

интегральных

сумм

функции

на х Ay

таких, что я(S^),

я ( 5 2 )

< 2~б < п ) ,

выполняется

\l(S1)-i(S2)\<2-n.

называется

интегри

О п р е д е л е н и е 7. Функция

руемой

по Риману

(R-интегрируемой)

на сегменте х

Ау,

если

можно

построить

регулятор

интегрируемости

на

хАу*).

То

обстоятельство,

что

при

определении

^ - и н т е г р и р у е

мости м ы ограничились п р а в и л ь н ы м и дроблениями сегмента инте грирования, не имеет п р и н ц и п и а л ь н о г о значения и обусловлено ж е ланием у п р о с т и т ь изложение .

286

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМДНУ

[ГЛ. 7

Поскольку в этой главе не рассматриваются поня тия интегрируемости, отличные от интегрируемости по Риману, /^-интегрируемые функции будут часто назы ваться просто интегрируемыми.

Нам потребуются	некоторые алгорифмы, связанные
с введенными только	что определениями. Через Д, Ю,

И, И\ мы будем обозначать фиксированные каким-ни будь образом (построение предоставляется читателю) алгорифмы такие, что если Q, R, S— соответственно произвольные дробление, интегральное дробление и ин

тегральная

сумма,

имеющие

вид (1) — (3),

то

D(Q)^D(R)^D(S)^Q;

K){Q)^K>

{R) =

Ю (S) =

п;

Xt,

если

Я Ю , О = Я ( * . 0 = Я ( 5 . 0 = {

Д ) е с л и

/ >

п .

yу,,u

если

0С<Клл' < [ п — 1 ,

" . < * , ^ " , < S , 0 - {

л , е с л и / > п

О п р е д е л е н и е

Последовательность

дробле

ний*)

назовем

регулярной,

если

при любом

n(W(n))<2-n.

Л е м м а

Можно построить

алгорифм

такой,

что для любого

сегмента

х А у wx

д у

является

регуляр

ной последовательностью

дроблений

этого

сегмента.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя

алгорифмы

G, G+

(§§ 3—4

гл. 2)

и алгорифмы

D~, D+

(§ 2 гл. 3),

можно

построить

алгорифм

U такой, что

для любого

сегмента

х А у

положительной

длины

ОХАу

является

регулярной

последовательностью дроблений этого сегмента. Иско мый алгорифм W1 строим теперь так, чтобы

W1 (х А у, п)	~
(	U(xAy,	п), если	Р з ( 2 " " ~ \	2"",	у — х) =	2,
I	х*у,	если	Р з ( 2 " п - 1 ,	2~п,	у — *)=?-	1,

*) Под последовательностью дроблений мы подразумеваем, как обычно, алгорифм, перерабатывающий всякое натуральное число в дробление.

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно