Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
292 |
|
ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
КФ ПО РИМДНУ |
|
|
[ГЛ. 7 |
|||||||||
неограниченной (см. Ф и х т е н г о л ь ц |
[2; стр. 97], Л а н |
||||||||||||||
д а у |
[2; стр. 342]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
заключение |
параграфа |
сформулируем |
|
некоторые |
||||||||||
элементарные |
свойства |
интегрируемых |
функций. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
3. |
Если |
«, = |
j |
f |
и |
и2 |
— |
| |
f, |
|
то и, = |
и2. |
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
Т е о р е м а |
4. |
Если |
щ = |
| |
/ |
и |
и2 |
= |
|
ии |
|
то и2 = j |
f. |
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
5. |
Если |
«=|/ |
|
и хх |
= |
х, |
|
у {—у, |
то |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
6. |
Если |
и — j |
f |
и |
f = |
g |
на |
х Ay, |
то |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
\g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
7. |
Если |
и — j |
f |
и |
/ ^ 0 |
|
|
на |
х А у, |
то |
||||
и > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
8. |
Если |
щ= |
| |
/, |
и2 |
= |
| |
g, |
то |
|
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ ± U2 = |
У |
|
|
g). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J" {/ ± |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
м |
параграфе будет |
доказана |
|
интегрируе |
|||||||||
Т |
еследующеорма 9. |
Если |
" = |
J" / |
и |
g — z-f |
|
{где z — |
не- |
||||||
мость модуля |
и произведения |
интегрируемых функций. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у
которое КДЧ), то z- и = j g.
|
КРИТЕРИИ |
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ |
|
|
293 |
||||||
Т е о р е м а |
10. |
Если |
их |
У |
|
У |
|
|
|
||
: | |
/ и |
u2= |
J" g, |
причем |
f |
< g |
|||||
на х А у, то щ ^ |
«2- |
|
X |
|
|
X |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
У |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
П . |
Если |
f •• |
0 |
на |
х Ay, |
то 0 = j |
f. |
|
||
Т е о р е м а |
12. |
Если |
х |
|
|
|
|
X |
|
|
|
у, |
то для |
любой функции |
f |
||||||||
|
|
у |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выполняется |
0 = |
J" /. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
13. Если |
f |
1 |
на |
х А |
у, то у — х= |
J" f. |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
§ 2. Некоторые критерии интегрируемости. |
|
|
|
||||||||
Интегрируемость |
равномерно |
непрерывных |
функций. |
|
|||||||
Интегрируемость модуля |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|||
ипроизведения интегрируемых функций
1.В традиционном анализе при изложении интег рального исчисления весьма удобным оказывается ап парат верхних и нижних сумм Дарбу и связанная с ним известная лемма Дарбу, показывающая, что при уста новлении интегрируемости достаточно сравнивать интег ральные суммы, отвечающие одним и тем же дробле
ниям (ср. Ф и х т е н г о л ь ц [ 2 ; стр. 98]). В теории интег рирования конструктивных функций введение верхних и нижних сумм Дарбу встречает принципиальные труд ности, так как ограниченная на данном сегменте кон структивная функция может не иметь на нем точных границ (см. гл. 8, § 2 теорема 6). Доказываемая ниже лемма 1 заменит нам упомянутую только что лемму Дарбу.
При доказательстве леммы 1 нам потребуется сле дующая эквивалентность. Пусть (i = 1, 2, . . . , п) — некоторые суждения. Тогда
- \ - } ( & a t ) ^ & |
( l l ^ i ) . |
294 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ [ГЛ. 7
Переход от " l l ^ & ^ i j к очевиден. При доказательстве импликации
ограничимся случаем п = 2 (переход к любому п > 2 легко проводится с помощью индукции).
Итак, пусть выполняется
(1) |
|
|
|
|
|
п п ^ , & п п ^ 2 . |
|
|
|
||||||||
|
Предположим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2) |
Тогда, очевидно, |
|
К ^ . & ^ г ) . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S*i |
ZD |
~ |
] ^ 2 , |
|
|
|
|
||||||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
что противоречит |
(1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Следовательно, |
(2) |
неверно, |
т. е. выполняется |
|
||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
11. |
1 (j*, & .s*), |
|
|
|
|||||||||||
что и требовалось. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем |
|
говорить, |
что |
дробле |
||||
ние |
0_2 является |
|
продолжением |
|
дробления |
Q\ |
|
(запись |
|||||||||
Q2^Qi), |
если |
Qi, Q2 |
суть дробления одного и |
того же |
|||||||||||||
сегмента |
и |
для |
любого |
|
0^i^K)(Q\) |
|
можно |
найти |
|||||||||
О ^ |
ki ^ |
K)(Q2) |
гак, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
H(QU |
/) = |
Я(Q 2 , |
|
|
|
|
|||||
(г. |
е. Q2 |
получается |
|
из Qi |
добавлением |
новых |
|
точек). |
|||||||||
|
Л е м м а |
1. Пусть |
|
f — функция, |
2 ^ 0 — КДЧ, |
Qi— |
|||||||||||
правильное |
|
дробление, |
|
|
причем |
для |
любых |
интегральных |
|||||||||
сумм |
Si, |
S2 |
функции |
|
f, |
отвечающих |
дроблению |
Qi, вы |
|||||||||
полняется |
|
|
|
\l(Si)-l(S2)\<z. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Тогда, |
каково |
бы |
|
ни |
было |
правильное |
дробление |
|||||||||
Q2 |
э |
Qi, |
для любых |
|
интегральных |
сумм |
53 , S4 |
функ |
|||||||||
ции |
f, |
отвечающих |
соответственно |
дроблениям |
Q2 |
и Qi, |
|||||||||||
также выполняется |
неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||||||
U ( 5 3 ) - J ( 5 , ) K ? ,
КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
|
|
|
|||||
(3) |
|
|
Q, = |
лг0 * . . . |
* хп, |
|
|
||
(4) |
|
|
Я2^Уо* |
|
• |
" |
*Ут- |
|
|
Очевидно, |
Хо — |
уо, |
Ут = |
|
хп и т |
/г. |
|
|
|
Найдем |
для |
каждого |
0 ^ |
i ^ |
п kt |
так, чтобы |
|||
причем при / = |
О и |
i — п |
положим |
соответственно |
|||||
k0 = 0 и |
== /п * ) . Очевидно, |
|
|
|
|
||||
(5) |
0 |
= |
£ „ < * , < . . . |
<kn |
= |
m. |
|||
(6)Предположим, что существуют интегральные
суммы |
S 3 , |
S4 |
функции |
f |
такие, что £ > ( S 3 ) = F Q 2 , |
|||
D(S4 )=^Q, и |
| j ( S 3 |
) - i ( S 4 |
) | |
> z . |
||||
Пусть |
|
Е/3. |
|
|
|
|
|
|
53 |
= |
Q2. |
«О* |
• • • |
* "m-I. |
|||
54 |
= |
Е/3. |
Qi, |
о 0 * |
• • • |
* 01.-1- |
||
Обозначим через г,- (0 sg: i sg;/п — 1) КДЧ /(и,-). Обо значим через &ц дизъюнкцию (z{ ^ V (Zi ^ Z j ) . Поскольку при любых /, / выполняется ~\\9&ц, то имеет место
(8) |
|
|
|
"11 |
i, |
& |
Яч. |
|
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
|
||
|
Предположим, что |
выполняется |
|
|
|||||
(9) |
|
|
|
I, |
& |
|
Яч. |
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
||
|
Тогда |
мы |
сможем |
указать |
натуральные |
числа |
|||
/0 , |
/„_, |
и |
s0, |
s„_, |
|
такие, |
что при |
каждом |
|
О < |
/ < п — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ю) |
|
ki |
< |
S/ |
< |
+ |
|
|
|
и если |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П) |
|
|
2 , . < Z / < Z S . , |
|
|
||||
*) Это замечание вызвано возможностью равенства х0 = хп.