Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

ОСНОВНЫЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

 

 

 

287

где

Рз — алгорифм,

построенный

согласно теореме

21

§ 3 гл. 2.

 

 

 

 

 

Будем

говорить,

что КДЧ

z

яв­

 

О п р е д е л е н и е

9.

ляется

интегралом

Римана

 

(R-интегралом)

функции

f

на

сегменте

хАу,

если

можно построить ПНЧ о такую,

что при

любом

п для

любой

интегральной

суммы

S

функции

f

на

х А у

с измельченностью,

меньшей

2~а<-п\

выполняется

 

 

15(5,) -

г

| <

2~\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1.

Пусть

хАу

— произвольный

сегмент,

f — произвольная

функция.

Функция

f

R-интегрируема

на

хАу

тогда и только

тогда, когда

осуществимо

КДЧ,

являющееся

R-интегралом

f на х А

у.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

и,

v обозначают

про­

извольные слова

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

хАу,

U3,

£63,

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

хАу,

£ /3 . £<в,

г

 

 

 

 

 

где

х А у — сегмент,

/ — функция,

z — КДЧ,

б, а — а л ­

горифмы

типа

(Ж^Ж),

 

причем

б

является

регулято­

ром интегрируемости f

на

х Ay,

a z

и о

удовлетворяют

вместе cfnxAy

 

определению 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства

теоремы

1 нужно построить

ал­

горифмы

Я1, Я2, Я3 такие, что для любых

слов

и, v

вида

( 4 ) - ( 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

!Я'(«).

Я » - К Д Ч ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Ц — алгорифм

типа

 

(Ж-+Ж);

 

 

 

 

 

 

3) Я1 (и),

Ки, f

и х А

у удовлетворяют

определению 9

(таким образом, Я1 (и) является /^-интегралом

f на

хАу);

 

4)

Яц

является

регулятором

интегрируемости

/

на

хА

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение алгорифма Я3 очевидно: достаточно, что­

бы Я3

удовлетворял условию

 

 

 

 

 

 

 

 

Я3 (и, n ) ~ c ( n + 1).

Построение алгорифмов Я1, Я2 без труда может быть выполнено с помощью леммы 1 и теоремы о полноте КДЧ (гл. 3 , § 2 ) .

Для отношения «КДЧ z является /^-интегралом функции f на сегменте х А у» мы будем использовать

288 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМДНУ [ГЛ. 7

запись

J7

z (Т)\ •>

или

У

\f = z,

причем индекс (R) будет, как правило, опускаться*). Мы будем также часто использовать следующую сокра­ щенную запись (приближающую наши обозначения к

традиционным). Пусть М{хи

хп) — некоторое

суж­

дение о КДЧ, a f\,

fn — функции. Тогда

под

(У

 

 

7

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$Ф\

I f i ,

 

 

I /„

 

мы

 

будем

понимать

суждение

 

 

 

Bz{z2

...

Zn ^ Д

[zt

 

=

J

/, j j

 

& si

(z„ . . . .

Z„)j .

 

 

 

 

 

 

 

г/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

запись

J" f

>

0

следует понимать

так:

су-

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ществует

КДЧ,

большее

нуля

и являющееся Р-интегра-

лом f на сегменте х

 

Ау.

 

 

Пусть

 

п — натуральное

 

чис­

 

2. О п р е д е л е н и е

10.

 

 

ло,

f — функция,

Q — дробление.

Будем

говорить,

что Q

является

п-дроблением

 

для f, если для любых

интег­

ральных

сумм

Si,

S2

функции

f

таких,

что

D(Si)

= F

= F

D(S2)

=s= Q,

выполняется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\b(Si)-i(S2)\<2-n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Чтобы

предупредить

 

возможные

недоразумения,

отметим,

что

запись

г = J* / I

J"

/ =

 

z J

следует

рассматривать

как

нерас-

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

членяемое целое (символ J" не является обозначением оператора!).

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

289

Л е м м а

2. Пусть

/ — функция,

Q =F Х 0 * ... * х п —

дробление,

причем

Хо <

хп

и

Q является

^-дроблением

для ] . Тогда КДЧ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

zf,

Q =

.

' — — - Т - +

max

\f(xt)\

 

ограничивает

 

функцию

f на сегменте

Хо Л x n .

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду леммы 1 § 2 гл. 5 до­

статочно

показать,

что zfi

Q

ограничивает f

на

каждом

сегменте xt Л

х { + \ .

Предположим, что при некоторых i\

(О sg: ii

^

п — 1) и ^ е х (

| Д

x t + l

выполняется

 

 

(7)

 

 

 

 

 

\f(x)\>Zf,Q.

 

 

 

 

 

Рассмотрим тогда

интегральные

суммы Si, S2

функции/

такие, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si

=?= с73> Q, х 0 * ...

*

х

п _

и

 

 

 

 

S2=r= с73> Q. *о* •••

 

 

 

* * * * ( , и * . . .

**„ _ , .

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 (S,) - 5 (S2) | = 1 / (х)

-

f (*,,) I •

-

*,,).

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 (S,) -

5 (S2) I > |

I / (*) I -

\f(xtl)

11 • (xtl+l

 

-

* , , ) .

Ввиду ( 6 ) - ( 7 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / ( * ) | - Щ * „ ) 1 >

 

m i n

'

_

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( S i ) - 5 ( S 2 ) | > 1,

 

 

 

что противоречит

условиям

леммы (Q — О-дробление

для / ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

(7)

невозможно

и всюду

на

ХоАхп

выполняется

l / ( O I < z f l Q ,

что и требовалось доказать.

Из леммы 2 без труда усматривается

Ю Ь А. Кушнер

290

 

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ

ПО

РИМДНУ

 

 

[ГЛ. 7

Л е м м а

3.

Можно

построить алгорифм

 

W3,

перера­

батывающий

всякое

слово

вида

£/3>

Q> г ^ е

Q — положи­

тельное

дробление*),

являющееся

^-дроблением

для

\,

в

КДЧ,

ограничивающее

f

на

сегменте

#(Q, 0 ) Д

AH(Q,IO(Q)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использование

непрерывности конструктивных

функ­

ций

(теорема 2 § 2 гл. 5)

позволяет

освободиться

в лем­

ме 3 от условия положительности дробления

 

Q.

 

 

 

Л е м м а

4.

Можно

построить алгорифм

 

W4,

перера­

батывающий

всякое

слово

вида £/3> Q, где

 

Q — 0-дроб-

ление для

f,

в

КДЧ,

ограничивающее

f

 

на сегменте

M(Q,

0)AH(Q,K)(Q)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

непрерывности

кон­

структивных

функций

(теорема

2 § 2

гл. 5)

можно

по­

строить алгорифм

U такой, что для

любого

слова £/3.

Q

рассматриваемого

 

типа

имеет

место

 

!£/(£/3'Q)i

^(£f3>Q) — натуральное

число, и

если

 

 

 

 

(8)

 

 

 

\x-H(Q,

 

 

0)\<2-Uim-Q),

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

\f(x)-f(H(Q,

 

0 ) ) | <

1.

 

 

 

 

Обозначим для краткости на время доказательства tf(E/3.Q) через NfiQ и сегмент И(Q,0) А И{Q, Ю(Q)) через xQ A yQ. Используя алгорифм W3, построенный со­ гласно лемме 3, построим алгорифм W4 так, чтобы

№4(£/3> Q)^

\ ^3 (с73. Q),

если

Рз(2~Ч<}~\

2'Nf'Q,

yQ-xQ)^2,

\\f(xQ)\+\,

если

Р з ( 2 " ^ ч ~ ' ,

2~NflQ,

yQ-xQ)=Fl.

Нетрудно убедиться ((8) —(9), лемма 3), что W4 обладает требуемыми свойствами.

Лемма 4 позволяет доказать ограниченность интег­ рируемых функций. Прежде чем сформулировать соот­ ветствующую теорему, сделаем некоторые замечания, связанные с конструктивным пониманием суждений (применительно к материалу данной главы).

*)

То

есть

tf(Q,/O(Q))-#(Q,0)>0.

Очевидно,

всякое дроб­

ление

Q

является

дроблением сегмента

#(Q, 0) Д H(Q,

K)(Q)).

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

291

О п р е д е л е н и е

11.

Интегральным

шифром

назы­

вается всякое

слово

вида

 

 

 

 

 

(10)

 

хАу,

Е/=з.

£ 6 3 ,

 

 

 

где х А у — сегмент,

f — функция

и б — регулятор

ин­

тегрируемости

f на

хАу.

Слово

(10)

будем

называть

также интегральным

шифром функции

f на

сегменте

хАу.

 

 

 

 

 

 

 

Интегральные шифры по отношению к интегрируе­ мым функциям играют такую же роль, как равномер­

ные шифры по отношению

к равномерно

непрерывным

функциям. Суждение вида

«для любого

сегмента

х А у

и всякой Р-интегрируемой

на

х А у функции

f

суще­

ствует конструктивный объект

S, находящийся

с

хАу

и f в данном отношении s&» конструктивно понимается как утверждение об осуществимости алгорифма, нахо­ дящего по любому интегральному шифру f на хАу соответствующий конструктивный объект (ср. доказа­ тельство теоремы 1).

Для читателя, интересующегося возможностями по­ строения конструктивного анализа без применения прин­ ципов Маркова, заметим, что единственное существен­ ное использование этого принципа в данной главе свя­ зано со ссылкой на теорему непрерывности при доказательстве ограниченности интегрируемых функций (лемма 4, теорема 2). В свою очередь привлечение тео­ ремы непрерывности вынуждается возможностью вы­ рождения сегмента интегрирования. Таким образом, принцип Маркова может быть устранен введением до­ полнительных требований непрерывности или ограничен­ ности рассматриваемых функций, либо требованием, что­

бы сегмент интегрирования имел положительную

длину.

Т е о р е м а

2. Всякая

R-интегрируемая на данном сег­

менте функция

ограничена

на этом

сегменте.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Теорема

утверждает

суще­

ствование алгорифма, перерабатывающего всякий ин­

тегральный шифр

хАу,

£f3>

Е°3 8

КДЧ,

ограничиваю­

щее /

на

х А у.

Возможность

построения

такого

алго­

рифма без труда усматривается из леммы 4.

 

В традиционном анализе при доказательстве тео­

ремы,

соответствующей

теореме

2,

обычно доказы­

вают,

что

интегрируемая функция

не

может

быть

Ю'

Смотрите также файлы