Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

297

минающее

лемму

Дарбу:

если

Q 2 2 Q i

и для

любых

интегральных

сумм Si, S2

функции / таких, что D(SX) =г=

=FD(S2)

=FQU

выполняется

| j(Si) — j(S2 ) | ^

г,

то

это

же неравенство

выполняется

и для любых

интегральных

сумм /, отвечающих

дроблению

Q2 . Нам это утвержде­

ние не понадобится.

Л е м м а

2. Пусть

Q =

х0* ... #xk — правильное

дроб­

ление,

f — функция,

m,

п — натуральные

числа,

причем

2т

ограничивает

f на х0

А Хи и Q является

(п + 2) -дроб­

лением

для f * ) .

Тогда

для

любых

интегральных

сумм

S b

S2

функ­

ции f на Хо А Хи таких, что

(13)

n(S,),

n ( S 2 ) < 2 - m - " - & - 3 ,

выполняется

\i(Sl)-i(S2)\<2-n.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

S b

S2

— произвольные

интегральные

суммы f, удовлетворяющие неравенству

(13).

Обозначим через Р дробление сегмента

x0Axh,

получающееся

из Q добавлением

тех точек

дробления

D(Si),

которые отличны от х0, ...,

xk.

Очевидно, P = Q.

Пусть Si и Р имеют вид

О 4 )

п

=?= Е/3. h*tx* ...

*th

у0* ...

*#,_,,

Р = F S 0 * S, * . . . * Sp

(где t0

=

s0

=

x0

и ti =

sp =

Xk) •

Сегмент tf< Д

tfi+i

назовем сегментом 1-го рода, если

внутри него нет точек дробления

Q, т. е. если

при неко­

тором /

U — Sj,

h + \ — si+\-

В

противном

случае

U А U+i

назовем

сегментом

2-го

рода**).

не больше, чем k.

Очевидно, что сегментов 2-го рода

Обозначим

через

z

сумму

длин

сегментов

2-го

рода.

*)

См. определения

1 и 10 § 1.

**)

Поскольку

to =

so, ti =

sP

и

все

ti

i

(1

i ^

I—1),

Si ( l ^ i ' ^ p

— 1)

рациональны,

по

данному

легко

узнать, яв­

ляется ли сегмент ti

A t i + l сегментом 1-го рода.

(15)

• Jt(S,)<6 _2-m-n-k-3

< 2 - т - п - 3 _

Построим

интегральную сумму

Si функции f вида

(см. (14))

где

Zt=Fyj,

если

сегмент

S{ A

s i + \

совпадает

с

некото­

рым сегментом 1-го рода tjAtj+i,

и Zi=^Su если st

A

si+i

не

совпадает

ни с каким

сегментом

1-го рода

(т. е. ко­

гда s{ASi+]

входит в некоторый сегмент 2-го рода).

Имеем, как легко

видеть,

| ? ( 5 1 ) - И 5 0 1 < 2 - 2 т . 2 .

Отсюда согласно (15)

(17)

h ( 5 1 ) - 5 ( s O | < 2 - " - 2 .

Фиксируем

произвольно интегральную

сумму

S0

функции

f,

отвечающую

дроблению

Q.

Поскольку

D (Si) э

Q

и

Q — (п + 2) -дробление

для

f,

согласно

лемме

1 выполняется

(18)

U{s[)-l(SQ)\<2-n'2.

Из

(17) и (18) следует

Аналогично,

18 ( S i ) - 8 (So) К

2 - " - ' .

что и требовалось.

Последовательность

дробле­

О п р е д е л е н и е 2.

ний

W

будем

называть

характеристической

для функ­

ции

f, если

при каждом п W(n)

есть п-дробление

для

f.

Оценка, даваемая леммой 2, позволяет получить сле­

дующий критерий

интегрируемости.

Т е о р е м а

1.

Каковы

бы ни

были сегмент

хАу

и

функция

f,

f

интегрируема

на х Ay тогда

и только то­

гда,

когда

осуществима

последовательность

дроблений

х А у, характеристическая

для f,

КРИТЕРИИ

ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

299

Н е о б х о д и м о с т ь .

Построим

алгорифм

X так,

что­

бы для любого интегрального шифра хАу,

£/3>

£63

1(хАу,

т , £63, n)~Wl(xAy,

в (л)),

где W1 — алгорифм, построенный согласно лемме

1 § 1.

Очевидно,

кх л у, t fз, £бз

является

характеристиче­

ской

для f

последовательностью

дроблений

сегмента

х А

у.

R

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Обозначим

через

произ­

вольное слово

вида

хАу,

£/3,

£ ^ 3 ,

| / ( / ) ] < 2 т < * > .

Построим алгорифм у так, чтобы

y(R,

п ) ~ л

+ т(/?) + Ю ( Г ( л +

2)) +

3.

Ввиду

леммы

2

алгорифм

ун

является

регулятором

интегрируемости / на х А у, что и требовалось.

О п р е д е л е н и е

3. Функцию

f

будем называть

сла­

бо интегрируемой

на сегменте

х А у, если

осуществима

ПНЧ

о

(называемая

слабым

регулятором

интегрируе­

мости

f на х А у)

такая,

что при

всяком

п

для

любых

интегральных

сумм

S\, S2

функции

f на

х А у

из

D (Si) =F

^=D(S2)

и

следует

n(S{),

n(S2)<2~a{n)

\l(S1)-i(S2)\<2-n.

Из теоремы 1 и леммы

1 § 1 вытекает

Т е о р е м а

2.

Каковы

бы

ни

были

сегмент

х А у и

функция

f, f

интегрируема

на

хAy

тогда

и

только

то­

гда, когда она слабо интегрируема

на

х А у.

Таким

образом,

при

доказательстве

интегрируемо­

300

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ

[ГЛ. 7

Т е о р е м а 3. Каков

бы ни был

сегмент

х А у, всякая

равномерно

непрерывная

на х А у

функция

интегрируе­

ма на х А у.

Т — произвольный рав­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

номерный

шифр хАу*

с73*£бЗ (§ 2 гл. 5). В силу тео­

для чего нужно построить алгорифм

U так, чтобы при

любом

слове Т рассматриваемого

типа

0Т

являлся

сла­

бым регулятором интегрируемости f на х А у.

Искомый алгорифм

U строим так, чтобы

(19)

U(xAy*

* £63, n)~6(n

+

G+(y-x)).

Пусть

Q = х0

* ...

* хт

— дробление

сегмента х А у,

причем

(20)

n(Q)<2-ulx*tt,i,i

* т

' п

\

Пусть далее

S, = £f3> Q. Уо* •••

*Ут-Ь

S2 = £/3. Q, z0*

• • •

*

2 m _ ,

— две

произвольные

интегральные

суммы

/,

отвечаю­

щие дроблению

Q. Тогда

т-\

l 8 ( S i ) - a ( S 2 ) | <

2

\f(zt)-f(yi)\-(xi+]-Xl).

Ввиду

(19) —(20)

\f(zi)-f(yi)\<2-n-°+{!'-x).

Следовательно,

15 (Si) -

J (S2 ) I < 2-n~0+

iy~x)

-(y-x)<

2~\

Таким

образом, алгорифм

UXAy* ш*Е«з

является

слабым

регулятором

интегрируемости

f на х А у, что

и требовалось.

1. Всякая

монотонная

на

хАу

функ­

С л е д с т в и е

ция интегрируема

на х А у.

С л е д с т в и е

2. Всякая

кусочно

монотонная

на х А у

функция

интегрируема

на х А у.

С л е д с т в и е

3.

Всякая

полигональная

на

хАу

функция

интегрируема

на х А у.