Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

30!

ные

на 0 Д 1 , интегрируемые

на 0 Д 1 функции

(Куш -

н е р [3]).

4. Если функция f R-интегрируема

на

2. Т е о р е м а

хАу,

то функция

|/| также

R-интегрируема на

х А

у,

причем

[ / ^

J" I / I-

X

X

а — слабый регулятор

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

интегрируемости / на х А у. Фиксируем

произвольное п

и рассмотрим

произвольное

дробление

Q сегмента

хАу

такое, что

7i(Q)<2-°{n+1\

Пусть,

далее, Si,

S2

— интегральные

суммы

функ­

ции

| / | ,

отвечающие

дроблению Q

и

имеющие

вид

S i

Elf 13. *o* • • •

* * * .

Уо*

*Ук-и

S a

=5= Е 1 f 1 3 - Х0*

• • •

Z 0 *

Предположим, что

(21)

U ( S , ) - S ( S 2 ) | > 2

-n-l

Очевидно,

k-l

(22)

U ( S , ) - J ( 5 2 ) | =

2 (l/MI-l/(z,) ! ) • ( * / + , - * , )

k-i

Обозначим

через

<%i суждение

(/(#;) ^ / ( z * ) ) V

V{f(zi)^f(yi))

и предположим,

что

выполняется

(23)

ft-i

&

at.

Тогда мы сможем указать интегральные

суммы S3 и S4

функции f,

отвечающие дроблению

Q, такие, что

5 (S3 )

- 5 (S4) = 2

I f (Уд - f Ш

I • { x t + l

- xt).

i=0

(Для этого к S3 надо отнести уи если

верен

первый

член

дизъюнкции &и и г,, если верен второй

член 3§,;

при

построении же S4

следует поступить

наоборот.)

Ввиду (21)—(22) получаем

S(S>)

3 ( 5 2 ) | < 2 - " - ' < 2 - " .

|

У I

У

интегрируемость

|/| на х А у. Неравенство

очевидным образом следует из оценки

fe-1

i=02 fOtt)

• (xi+i —

Xi)

<*2

I/ЫI•(*<+,

1=0

Т е о р е м а

5. Если

fug

интегрируемы на

функции

х А у, то функция

f-g

интегрируема на х А у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

доказать

слабую

интегрируемость

функции

/ на х А у. Предоставляя по­

дробности читателю,

заметим,

что слабая

интегрируе-

§ 3]

ИНТЕГРАЛ

КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

303

мость

f-g

легко

следует из ограниченности / и g

(тео­

рема

2 §

1) и тождества

Ньютона — Лейбница.

Теорема

о замене

переменной

О п р е д е л е н и е

1. Натуральное

число

m

назовем

п-индикатором

интегрируемости

функции

f

на

х А

у,

если

для любых

интегральных

сумм Si,

S2

этой

функции

на

хАу

таких,

что

л;(Si), n ( S 2

) < 2 - m ,

выполняется

| j ( S , ) - 8 ( S 2 ) | < 2 - « .

v, x^.z^.y

— КДЧ,

f —

функция,

Л е м м а

1. Пусть

ограниченная

на

х А

у

числом

v, S\, S2—

интегральные

суммы

f на

х Az

и

z Ay.

Можно

построить

интеграль­

ную

сумму S функции

f на х А у такую, что

и

\b(S)-l

(Si) -

I(S2)

I < 4 v

• max

(я (S,),

n(S2))

л (S)

^

2 • max (я (Si),

я

(S2)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Si^=c73>

*

0

* •••

*xn,

Уо*

•••

*Уп-Ь

S2=Fc73>

« 0 * •••

*uk,

V0* ... *

(где x0 = x, xn = z, u0

= z, uk =

y).

Построим

интеграль­

ную

сумму

S

функции

f

на x Ay

так,

что

y0*

. . .

* z/„_2

* z * a, *

. . .

*

Очевидно,

я(5) ^ 2

• т а х ( я ( 5 [ ) ,

n(S2))

и

8 (S) =

S (Si)

+

5 (S2)

+

/ (z) • (ui

-

*„_,)

-

—

f

(Уп-l)

{Xn

—

Jfn - l)

-

f K )

• («1

—

«o)-

Следовательно,

I i (S) -

I (Si)

-

i (S2)

| <

о • ((к, -

*„_,) + (xn

-

*„_,)

+

+

("» — "o)) <

4o • max (я (S^,

n (S2)),

304

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМДНУ

[ГЛ. 7

Л е м м а

2.

Пусть

функция

f ограничена

на

хАу

числом

21 и

m

является

(п + 2) -индикатором

интегри­

руемости

f на х А у. Тогда

при любом z ^

х А у m + п +

-f- / +

5

является

п-индикатором

интегрируемости

f

на

х A z и z А у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим,

например,

сег­

мент

х А г.

Пусть

Si, S2

— интегральные

суммы

/

на

х A z такие, что

л (Si),

n(S2)<2-m-n-l-\

Предположим, что

(1)

\b(S1)-b(S2)\>2-n-1.

Пользуясь

леммой

1

§

1,

построим

интегральную

сумму Т функции f на zAy

с

измельченностью,

мень­

шей 2 - m - n - ' - 5 .

Применяя

к S] и Т лемму

1, построим

интеграль­

ную сумму S3 функции f на х А у так, что

I h(S3) ~ Ь(Si) -

J(Т) | < 4

• 2' • 2 - " 1 - " - ' - 5

=

2 - т - п - 3

и

1g (S4) - 5 (S3) | > \ \ (Si) - l (S2) I - 2 •

2-т-п-\