Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3]

ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

305

Следовательно, (1) неверно и для любых Si, S2 U № ) - j ( 5 2 ) l < 2 - " - , < 2 - t t .

Лемма доказана.
Т е о р е м а	1. Если	функция f		интегрируема на	сег
менте х А у, то при любом			z ен х А у f интегрируема		на
сегментах х A	z и z А у,	причем
	у	г	у
	х	х	г
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	Т =F Х А у, с73> £°3 —

произвольный интегральный шифр. По теореме 2 § 1

построим алгорифм W,		перерабатывающий				всякое	Т
в КДЧ, ограничивающее f на х А				у.
Пусть U — алгорифм такой, что
U (Г,	п) ~ б (п +	2) +	п +	G +	(W (Т)) +	5.
Ввиду леммы 2 От является при любом						z е х А	у
регулятором	интегрируемости		/	на	сегментах	xAz	и
г А у.
Доказательство равенства
	у	г	у

хх г

проводится предельным переходом с помощью леммы 1. Утверждение, обратное теореме 1, также имеет мес

то: если функция f интегрируема на							xAz		и z А	у,	то /
интегрируема	на	хАу.	Доказательство					предоставляется
читателю.
Из теоремы		1 и	теоремы		1 §.1		без		труда	следует
Т е о р е м а	2.	Каков		бы ни		был	сегмент х А у				и ин
тегрируемая	на	нем	функция		f,	можно		построить			функ
цию g так, что при любом				t	Х А у

О п р е д е л е н и е		2.	Функцию	g	будем	называть пер
вообразной	функции	f	на сегменте		х А у,	если f является
производной	g на этом сегменте			(§	1 гл. 6).

306	ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМАНУ					[ГЛ. 7
Т е о р е м а 3.		Пусть	функции	f, g	и сегмент	х А у
таковы, что при любом t е.х А у
		8 (t)=\f-
Тогда	g является	первообразной		f на	хАу*).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	W — регулятор		непре

рывности функции f (такой алгорифм W существует в

силу

теоремы

2 §

гл.

и /—произвольная

точка

х А

у.

Фиксируем

произвольное

рассмотрим

любую

точку t\ е

х А у такую, что

(2)

[ t l - t \ < 2 - W

( i ' n

Ввиду

(2)

(3)

l / ( * i ) - / ( 0 l < 2 - " .

Предположим, что

(4)

| £(/,) -g(t)

- f (t) • (h

I >

2~n • \t

Рассмотрим

случаи

(5)

t =

ti,

(6)

/, >

(7)

Случай

(5), очевидно,

невозможен. В случае

(6)

по

теореме 1

(8)

g{U)~g{t)=\f.

Поскольку,

ввиду

(3),

всюду

на t

Att

f(t)-2-n<f(z)<f{t)

2-\

то

согласно

(8)

(t)

2'п)

(

U -

t X

g ^

(t)

< (f (t)

+ 2~n)

•

(r, -

t),

Отсутствующее

этой

теореме

требование

непрерывности

выполняется

автоматически.

ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ	ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА	307
откуда
- 2-п • ( / , - * ) < £ (/,) -g(t)-f	(/) • (/, - /) < 2 ~ n •	( * , - t ) ,

т. e.

\g(ti)-g(t)-f(t)-(t1-t)\<2-n-\ti-t\,

что противоречит (4). Случай (6), таким образом, не возможен. Точно так же из (4) следует, что невозможен случай (7). Следовательно, из (4) вытекает

& ( / , < 0 & ( ' i > о,

что невозможно.

Поэтому при выполнении

(2) имеет место

и функция

является, таким

образом, производной

на х А у.

1. Всякая

равномерно

непрерывная

на

С л е д с т в и е

х А у функция

имеет

первообразную

на х А у.

С л е д с т в и е

Всякая

полигональная

на

х А у

функция

имеет первообразную

на х А у.

С л е д с т в и е

Всякая

интегрируемая

на

хАу

функция

имеет первообразную

на х Д у.

Ввиду следствия 2 § 2 гл. 6 имеет

место

Л е м м а

3. Пусть

gi, g2

— первообразные

функции

на х Ay.

Тогда

всюду

на х А у

g2 (0 = gi (t) + g2

(x) — gt

(x)

(две первообразные

одной и той же функции

могут от

личаться лишь на константу).

Из леммы 3 и теоремы

3 получаем

теорему,

анало

гичную теореме Ньютона — Лейбница.

Т е о р е м а

4. Пусть функция

g является

первообраз

ной функции

на х А у. Тогда,

если

интегрируема на

х А у*),

то

g(y)-g(x).

*) В следующей главе будет показано, что функция, имеющая первообразную, может быть неинтегрируемой.

303	ИНТЕГРИРОВАНИЕ КФ ПО РИМЛНУ	[ГЛ. 7
Теорема	4 позволяет, как и обычно, доказать	извест

ные формулы интегрирования элементарных				функций.
В частности, имеет		место
С л е д с т в и е 4. Пусть f-—полигональная				функция,
причем	Хо * . . . * хп	— определяющее	дробление	f (т. е. f
линейна	на каждом	сегменте Xi A	• Тогда

S ^ ^ . < x 4 t l - , . ) - f f .

Это утверждение понадобится нам в следующей главе.

Из теоремы 4 и правила дифференцирования слож ной функции вытекает также теорема о замене пере менной.

Т е о р е м а 5. Пусть			функции	f, h, h', g и	сегменты
хАу,	uAv таковы, что h(u) = х, h(v) = у,				всюду	на
uAv	x^h(t)^y,	h' — производная h на и Av				и,
наконец, всюду на		и Av
		g(t) =	f(h(t))-h'(t).
Тогда,	если обе функции		fug	интегрируемы	соответ
ственно на х А у и и Av, то

уо

хи

Для доказательства достаточно заметить, что если

fi — первообразная / на х А у, то функция	g] такая, что
g.(0 = MA(0).
является первообразной g на и A v.
В заключение отметим, что в связи	с теоремой о

среднем интегрального исчисления могут быть получены результаты, аналогичные теоремам гл. 6. В частности (мы ограничиваемся случаем единичного сегмента), не возможен алгорифм а, перерабатывающий всякий ин тегральный шифр

§ 3]

ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

309

в КДЧ так, что

	1
f(a(T))=jf,
	о
и вместе с тем невозможна	интегрируемая на 0 А 1
функция /, для которой всюду	на 0 А 1
	1

f{t)¥-jf.

В следующей главе будет доказана невозможность некоторых других алгорифмов, связанных с интегрируе мыми функциями, и будут приведены примеры неинтегрируемых функций.

Г Л Л В Л 8

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

ИНЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Вэтой главе излагаются некоторые специфические свойства конструктивного континуума, связанные с на рушением для него теоремы Бореля о выборе конечного покрытия. Поскольку именно теорема Бореля является, как правило, основой для перехода от локальных свойств функций к их глобальным свойствам, то неудивительно, что ее нарушение приводит к примерам конструктивных функций, обладающих хорошими локальными свойства ми (например, непрерывностью), но не имеющих соот ветствующих свойств на данном сегменте в целом (на пример, непрерывность в каждой точке единичного сегмента не влечет равномерной непрерывности на нем).

Всвою очередь неверность теоремы Бореля для кон структивного континуума связана с нарушением при конструктивном прочтении одного общего принципа, выражаемого следующей теоремой Д. Кёнига: в беско нечном дереве, из каждой вершины которого выходит конечное число ребер, имеется по крайней мере один

бесконечный путь (см. К ё н и г [1]	и К у р а т о в с к и й ,
М о с т о в с к и й [1; § 5 гл. 3]; в том	и другом случае при

водится вывод теоремы Бореля из теоремы Кёнига). Конструкция, показывающая неверность теоремы Кёни га при ограничении рассматриваемых путей вычислимы ми (рекурсивными) путями, может быть извлечена из работы К л и н и [2]; именно, существует бесконечное де


рево, из	каждой вершины которого выходит не более
двух ребер, не имеющее бесконечных вычислимых							(обще
рекурсивных)		путей	(см. также	М а р к о в		[7]).	Анало
гичная конструкция,			независимо	найденная		И.	Д. 3 а-
с л а в с к и м		[1—2; 4], позволила		ему	получить		пример
покрытия	сегмента		0 Д 1 , из которого		нельзя		выбрать

конечного подпокрытия, и построить разнообразные при меры конструктивных функций с необычными свойства ми (неограниченная на 0 Д 1 непрерывная функция,

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно