Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

СУЩЕСТВОВАНИЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ

3 15

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Q — универсальная

по­

строим

алгорифм Я так, чтобы

для любого Р в Ч

Я (Р, п) ~ £ Г (Р, п)

у

D+

(Р, п)

(см. § 2 гл. 3).

п

х

D-(x,n),

Поскольку

для любого

и

КДЧ

D+(x,n)

— рациональные числа,

причем

D' (х,

n)<x<D+

(х, п),

D+

(х,

п) - D~

(х, п) <

2'п,

Q(lx),

чем

и заканчивается

доказательство.

С л е д с т в и е

1.

Для

всякого

промежутка

и

любого

п осуществимо

2~п-ограниченное

интервальное

покрытие

этого

промежутка.

Для

всякого

невырожденного

про­

С л е д с т в и е

2.

межутка

осуществимо сингулярное

интервальное

по­

крытие

этого

промежутка.

Т е о р е м а

3. Для

любого

п осуществимо

2~п-ограни­

ченное

сегментное

дизъюнктное

покрытие

конструктив­

ной

прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Q — 2_ п -ограниченная

универсальная

последовательность рациональных

интер­

валов. Применим к Q лемму 2 § 3 гл. 5 и обозначим

получившийся алгорифм через Ф. В

силу

утверждений

1) — 3)

и

5) этой

леммы

Ф является

2~п -ограниченной

последовательностью

попарно

дизъюнктных

рациональ­

316

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

и

(5)

гПх

< х <

s m x .

Следовательно,

в

качестве

искомого

покрытия

можно

взять такой алгорифм

Ф, что

<D(rt)=Fr„ Д s„.

Т е о р е м а

4.

Для

любого

невырожденного

рацио­

нального

сегмента

г As

и

любого

п

можно

построить

2~п-ограниченное

точное

сегментное

дизъюнктное

покры­

тие этого

сегмента.

Ф — покрытие

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

конструк­

тивной

прямой,

построенное

в доказательстве

предыду­

щей

теоремы. Согласно

утверждению

( 5 ) можно

найти

t'i, h

так,

что

ги

О

<

и

st,

{гп,

sn,

как и

в доказательстве теоремы 3, обозначают

концы сегмента Ф ( п ) ) .

Не теряя общности, можно считать, что

(6)

2~п

<

s -

г.

Тогда

st,

<

ги.

Пусть

3?—

множество

натуральных

чисел

такое, что

g — st^rt

<

si < r i 2 .

318

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Докажем

более

сильное

предложение

( З а с л а в ­

с к и й , Ц е й т и н

[1]—[2],

К р а й з е л , Л а к о м б

[1]).

Л е м м а

1.

Пусть

Ф — г-ограниченная

последова­

тельность

сегментов,

х А у — сегмент,

причем

г < у — х

и ряд

оо

(7)

2|Ф<01

сходится.

Тогда можно

найти КДЧ z из х А

у, не

принад­

лежащее

ни

одному

сегменту

ф(п).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Не

теряя

общности,

можно

считать, что

Ф — последовательность

рациональных

ин­

тервалов.

Для

сокращения

обозначений

в

качестве

х А у возьмем сегмент О Л

1.

При условиях теоремы для любого рационального

сегмента

г As

ряд

оо

(8)

2 | г Д з П Ф ( 0 1

кий

сегмент

г A s

в сумму ряда

(8).

Ясно, что

(9)

у(0 А 1 ) < е < | 0

А

1 |.

Поделим

0 Д 1

пополам и обозначим через

аи а2 по­

лучившиеся

сегменты. Поскольку

у ( 0 Д 1 ) = у ( а , ) + у ( Ы

то

((9)) не

могут

одновременно

выполняться

неравен­

ства