Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

324

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Очевидно,

при любых и < v

и

любом п

алгорифмы

Й а Д „ и Нп

являются функциями

с графиками,

представ­

Рис.

17.

Рис.

18.

2. О п р е д е л е н и е

1.

Будем

говорить,

что

последо­

вательность

функций

F

согласована

с

покрытием

Ф,

если

при

любых

m,

п

таких,

что sm — гп,

выполняется

F{m,

sm)

=

F(n,

rn).

О п р е д е л е н и е

2.

Пусть

F —

последовательность

функций.

Функцию

f

будем

называть склейкой

F

по

покрытию

Ф, если

при

любом

п

всюду

на

Ф(п)

f(x)

=

F(n,

х).

Следующая

теорема

( З а с л а в с к и й ,

Ц е й т и н

[2])

позволяет

«склеивать»

некоторые

последовательности

функций.

Пусть

Т е о р е м а

1

( т е о р е м а

о

с к л е и в а н и и ) .

последовательность

функций

F

согласована

с

покры­

тием

Ф.

Тогда

можно

построить склейку

F

по

покры­

тию Ф.

« 2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ось

— характеристиче­

ские

алгорифмы покрытия

Ф. При

любом

х е О Д 1

Sa,

(х)

=

Га,

(х).

Обозначим

на

время

доказательства

через

пх

и

пгх

на­

туральные

числа

cti(ф(л:))

и а2 (ф(л;)). При

любом х

(1)

snt

=

rmx

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

325

и

(2)

ГПх

< ф

S m

x .

Построим

такой

алгорифм

/, что

/ (х) си

Fnx

(min (ф (х),

Snx))+Fmx

(max

(ф (х),

Гтх))—РПх

(s„J,

и покажем, что / является

искомой функцией.

Очевид­

но, / перерабатывает любое КДЧ в КДЧ.

Предположим

теперь, что я ЕЕ Ф(*)> Т. е.

(3)

г,

Тогда

<р(х) =

х

и

f

(х)

=

РПх

(min [х,

snx))

+

Fmjc

(max (х,

fmJ)

— Fnx

(s„x ).

Согласно

(2)

(4)

r n x ^ x ^ s m x .

Поскольку

Ф — дизъюнктное покрытие,

то

( ( 3 ) — (4))

возможны

случаи:

a)

l=Ftix;

б)

/ =т= т х

;

в)

S/ = rr t ;

Г)

ri =

Smx.

В случае а) х < !snx=fmx и, следовательно, min (х,

s » J =

=

л:,

max(x,

r m j f ) = = r m j r .

Поэтому

Отсюда,

поскольку

последовательность

F

согласо­

вана

с Ф и выполняется

(1), получаем

f(x) =

Ft(x).

Аналогично,

f(x)=Pt(x)

в случае б). Если

выполняется

в),

то

из

х ^

Si

и

х ^

гПх

получаем

х =

st.

Следова­

тельно,

+ Fmx

- Fnx {snx)

f (х) =

К х

(st)

{rmx)

=

= £ % ( s , ) =

^(s,)

=

Случай г) рассматривается совершенно аналогично.

Таким

образом,

при

любых / и х, если

^ е Ф ( 1 ) , то

f{x) = Fl(x).

Осталось

показать, что

/

является

функ­

цией.

Пусть

х =

у.

Тогда

ч(х) =

ч>(у)

и

ф ( х ) < = 0 Д 1 .

326

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Если f(x)>f(y),

то по только что доказанному

невоз­

можно т,

при

котором

ф ( х ) е Ф ( т ) ,

что противоречит

принадлежности

ф(х)

сегменту

0 Д 1 .

Следовательно,

f(x)^f(y).

Точно

так

же

получаем

f(x)^f(y).

Таким

образом, f (х)

—

f (у). Теорема

доказана.

Отметим,

что

построенная

нами

склейка

/

такова,

что f(x) =

/(0)

при К

О

и f{x)

= /(1)

при х

^

1. Мы

чая теоремы

о склеивании.

С л е д с т в и е

1.

Пусть

F — последовательность

функ­

ций

такая,

что

при

m ^

п

Fm

совпадает

с

Рп на

сегментах

Ф (0),

. . . ,

Ф (п).

Тогда

можно

построить

функцию,

являющуюся

склейкой

F

по

покрытию

Ф.

С л е д с т в и е

2.

Пусть

F1

—

последовательность

функций

такая,

что

/ ^ = 0

на

сегментах

Ф(0), . . .

Ф ( и — 1) и

п

F(n,

x)=^Fl{i,

х).

Тогда

осуществима

склейка

F

по

покрытию

Ф.

Следствие 2 можно также переформулировать в виде

утверждения

о сходимости

на

всей

оси ряда

£

Я ( п ,

ф(*)),

£ Р(п,

Ф ( Х ) ) = £ Я (л, х).

п = 0

п=0

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СЁОЙСТВАМИ

357

средственно,

без привлечения

общей теоремы непре­

рывности.

3. Примеры конструктивных функций, даваемые при­

водимыми ниже теоремами 2—4 и 6, были

построены

(несколько

другими,

чем

у нас, методами)

З а с л а в ­

с к и м

[1]—[2], [4]. Результаты,

аналогичные

теореме 3

и 6, были получены также

Л а к о м б о м

[2], [4] и Ш п е-

к е р о м

[2]

(теорема

6).

У с п е н с к и м

[1]

была до­

ского

пространства.

Т е о р е м а 2 (пример неограниченной

на единичном

сегменте функции). Можно построить

функцию

fo и

по­

следовательность

рациональных

чисел

р таким

образом,

что при

любом

I Р ( / ) < = 0 Д 1

и / 0 (Р(/)) =

/.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим

последовательность

функций F так, что

Очевидно,

F(n,

х) — п • Н(п, х).

Искомую

функцию /о строим

как склейку последова­

тельности F, ПРЧ р определяем

посредством

P (n) =

l 2 ± ± L .

О п р е д е л е н и е

3. Будем

говорить,

что функция

f

эффективно

не

равномерно

непрерывна

на

сегменте

хАу

(х<.у),

если

осуществимы

ПРЧ р ь р 2

и рацио­

нальное

е >

О такие,

что для

любого

п

р,(я),

р2 (я)е=хДг/,

1 Р . ( " ) - Р 2 ( л ) 1 < 2 ~ "