Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

320

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

всякое

перечислимое

множество

имеет меру нуль. Можно

также

показать,

что

объединение любой (конструктив­

ной)

последовательности

множеств

меры

нуль

также

имеет

меру нуль * ) .

Будем

говорить,

что система

• О п р е д е л е н и е

10.

промежутков

Т

накрывает

промежуток

х X У,

если

не­

возможно

г еЕ х X У такое,

что

гфТ.

Из

леммы

1 получаем

(через

\Т\

обозначается

сум­

ма длим всех промежутков

системы Т)

С л е д с т в и е

6.

Пусть х%у

— промежуток,

а

Т —

система

промежутков,

причем

\Т\<.у

— х.

Тогда

Т не

накрывает

х\у.

Это следствие (которое нетрудно доказать и

непо­

средственно) вместе со следствием 3 позволяет

полу­

чить

примеры

покрытий,

из

которых

нельзя

выбрать

конечные

подпокрытия, и,

таким

образом,

показать,

С л е д с т в и е

7.

Пусть х А у — невырожденный

сег­

мент. Тогда

осуществимо

интервальное

покрытие

Ф это­

го сегмента

такое,

что

никакая система

интервалов

Ф ( 0 ) * Ф ( 1 ) *

... *Ф(л) не

накрывает

х А

у.

4. Из теоремы

5

вытекает, очевидно,

теорема

1 § 3

О п р е д е л е н и е 11.

Будем

говорить,

что

последо­

вательность рациональных

чисел

(ПРЧ)

у эффективно не

сходится,

если

осуществимы

алгорифмы

cti,

а 2 типа

СЖ)-+Ж)

такие,

что при

любом х

и

i ^

а 2 (х)

у{1)фх-2-аАх)

v x +

2" a ' { х ) .

*) Вопросы

конструктивной теории

меры и

интеграла Лебега

рассмотрены в

работе Ш а н и н а [6]

и цикле

работ Д е м у т а

§ 1]

СУЩЕСТВОВАНИЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЙ

321

Т е о р е м а

6*).

Можно

построить

ПРЧ у так, что

при любом п

1) 0 < у ( л ) < у ( я + 1 ) < 1;

2)

Y эффективно

не

сходится

(и, следовательно,

яв­

ляется

шпекеровой).

Ф — точное сегментное

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

дизъюнктное

покрытие

сегмента

0 А 1

(сегмент

Ф(п)

обозначается

ниже

через rnAsn).

При

каждом п

рас­

циональностью

покрытия Ф, можно построить алгорифм

у такой, что

Y (л) ^ tn.

Очевидно,

Y — ПРЧ, удовлетворяющая утверждению

Найдем П\ и п2 такие, что

(10)

0 е Ф ( 4

(11)

1 е Ф ( 4

Найдем

далее 1\, 12 так, чтобы

|Ф(Я1)1 >

2 - Л

3

I Ф (rh)

I

^

3

^

'

2 • s

Если х<—д-^-,

то

при n ^ / Z j +

l , очевидно,

у{п)фх-

2 _ / l V * +

2 ~ \

322

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

y(n)^x

— 2'hVx

+ 2~1'

при я ^ я 2 +

1 . Остался

случай

В

этом случае

найдем

я 3 , я 4

такие, что

s«8

= =

fn,

и

ТПз

^

X ^

S„4 .

Имеются три возможности:

1 ) я 3

= Я ь

п4Фп2;

2)

п3фпи

я 4

— я 2 ; 3 ) я 3

Пь /г4

# я 2

(/г3 =

я ь

я 4 = я 2

не может

мер, п3

ф я ь

я 4 Ф п2

(первые

два

случая

рассматри­

ваются

аналогично). Согласно

замечанию

1 п. 2 можно

найти « 5 и «в так, что

Тогда

< ГПз < X < Sn, <

Гпь

Sne.

Обозначим через k

такое натуральное

число, что

| Ф ( п 5 ) | > 2 - ' « ,

| Ф ( « 6 ) 1 > 2 - \

Тогда при я ^

max (я3 , я 4 , я 5 , я6 )

у (я) £ х - 2

" ' r V * + 2 ~

\

чем и заканчивается

доказательство

теоремы.

Очевидно,

построенная

только что монотонная ПРЧ

у обладает «понижающим»

алгорифмом б таким, что 6

есть алгорифм

типа

{ЗУ т* Ж),

и если для всех я

то для всех я

Y (я) <

х,

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

323

Вполне аналогично теореме 6 доказывается

следую­

щее утверждение

(которое интересно

сравнить

с тео­

ремой 2 § 2 гл. 3

и с теоремой 8 §

2 гл. 4):

можно

ментов УР

такую, что:

1) xY(n

- j -

l ) s W(n)

при

любом п;

2) осуществим алгорифм а типа

[3)-*Ж)

такой,

что

для всякого х и i^a(x)

x^W(i).

Таким

образом,

не­

возможно

КДЧ, принадлежащее

всем системам

Win).

(В качестве W можно

взять

(в

обозначениях

доказа­

тов, получающуюся выбрасыванием

из 0 V 1 сегментов

Ф(0),

Ф(п) и заменой каждого

оставшегося интер­

сегментов систем

Ч^я)

сходится

(конструктивно)

к 0).

§ 2. Примеры конструктивных функций

с необычными свойствами

1. В этом параграфе через Ф обозначается

некоторое

точное

сегментное

дизъюнктное рациональное

покрытие

0 Д 1 ,

причем

концы сегмента Ф(п)

обозначаются

соот­

ветственно через

гп

и

sn.

Будем

считать, что

О е Ф ( 0 )

и 1 Е Ф ( 1 ) .

(/= tptx)

х

Рис. 16.

Через ф обозначается

функция

(рис: 16)

а через Q и Н — такие

алгорифмы,

что

Q ( u A t ) ,

х)

~

Н (п,

х)

Q (Ф (л), х).