Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Г л а в а 9

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

ВЗАДАЧАХ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В этой главе собраны теоремы, группирующиеся, главным обра­ зом, вокруг проблемы существования решения, хотя в отдельных ме­ стах мы возвращаемся к необходимым или достаточным условиям экстремума. Изложение начинается с результатов, построенных но образцу классических теорем Тонелли и Нагумо, в которых существование решения следует прямо из того, что полунепрерывная снизу на компакте функция всегда достигает нижней грани

В последнем параграфе подробно рассматриваются задачи о вы­ числении конволюционных интегралов, эквивалентные линейным за­ дачам оптимального управления. Этот параграф может читаться не­ зависимо от предыдущих. В этой главе рассматриваются только задачи с закрепленным временем. Обобщение всех результатов на задачи с более общими граничными условиями требует лишь незна­ чительного усложнения доказательств и не связано с принципиаль­ ными затруднениями.

§ 9.1. Полунепрерывность функционалов вариационного исчисления и компактность их лебеговских множеств

9.1.1. Предварительные замечания. В этом параграфе рассматриваются функционалы вида

ционалам классического вариационного исчисления. Од­ нако, как мы увидим в следующем параграфе, проб­ лема существования решения в задачах оптимального управления тоже сводится к изучению функционалов такого вида. Функционалы & мы будем рассматривать

в пространстве Wl, ь однако, как правило, относительно топологии равномерной сходимости функций из этого пространства.

Прежде чем формулировать и доказывать теоремы полунепрерывности и компактности, рассмотрим два примера, которые помогут уяснить условия этих теорем. Первый пример принадлежит Больца. Рассмотрим функ­

ционал

I

3 = | [(1 — x2)2 + x2]dt.

о

точке jc(.) = 0. Нетрудно понять, что отсутствие полунепрерывности в данном случае связано с невыпук-

дополнительных предположениях функционал 3/ с квазирегулярным интегрантом / полунепрерывен снизу на

Wi, 1 относительно топологии равномерной сходимости. Второй пример — это уже знакомый нам пример Вей-

ерштрасса (см. пример 5 из § 2.2): I

= \ t2xdt.

О

Мы видели, что на последовательности функций

Xn(f) = tlta

значения функционала S( ограничены (и даже сходятся к абсолютному минимуму этого функционала), а сама последовательность хт( •) «сходится» к разрывной функ­ ции. Другими словами, лебеговские множества функ­ ционала 2f не компактны относительно топологии

равномерной сходимости. Причина этого явления, как уже отмечалось, заключается в том, что по мере прибли­ жения t к нулю функция у -* Ру* растет по у все более и более медленно, и таким образом, функциям, имеющим большие производные в малой окрестности точки ^=0, могут соответствовать малые значения функционала Sf.

Говорят, что измеримый интегрант ф, определенный на произведении [/о, M X R n> удовлетворяет условию ро­ ста, если

бб

^ф( */ ( - ) ) + / г * ( 0 < я > * \\y{t)\dt

ии

для всякого k > 0, откуда и следует требуемый резуль­ тат. Мы увидим, что лебеговские множества функцио­ нала 3 компактны, если интегранты (t, у )-* f(t, х, у) удовлетворяют условию роста в том или ином смысле равномерно по х.

9.1.2. Признаки компактности множеств в функцио­ нальных пространствах. Напомним сначала условия ком­ пактности множеств в некоторых функциональных про­ странствах. Пусть со ( t ) — функция, определенная на

полуоси [0, °о) (принимающая, возможно, и бесконечные значения). Функция со(/) называется модулем, если она неотрицательна, не убывает, ш(0) = 0 и ay(t)—>0 при t —* 0. Множество A cz Сп называется равностепенно не­ прерывным, если существует такой модуль со(^), что

|х (0 — х (т) |^ со ( \t — т |)

для всех х ( - ) ^ А , t, т е [ 4 , fi]. Модуль со(0 в этом слу­ чае назовем модулем непрерывности множества А. Мно­

логии тогда и только тогда, когда оно ограничено и рав­ ностепенно непрерывно.

Доказательство см. Колмогоров и Фомин [1], стр. 103. П р е д л о ж е н и е 2 (критерий слабой компактности в Li). Множество A c z L l ( [ t 0, ^]) относительно ком­

пактно в слабой топологии в том и только том случае, когда оно равномерно суммируемо.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы можем отождествить про­ странство Li с множеством абсолютно непрерывных функционалов на Li,. При этом слабая топология в Z.J1 равносильна топологии, индуцируемой на Li слабой’ топологией пространства (l 2>)\ В пространстве

как и во всяком сопряженном пространстве, ограничен­ ные и слабо’ замкнутые множества слабо* компактны. Поэтому множество A cz Li слабо относительно ком­ пактно в Li тогда и только тогда, когда оно ограни­

чено по норме и его замыкание в (L")* относительно слабой’ топологии содержится в If.