372 |
ГЛ. |
9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ |
|
|
|
Если множество А равномерно суммируемо и ®(t) — |
его модуль суммируемости, то, |
выбрав число е > |
0 |
так, |
что |
ев (0 < 1 ПРИ |
и разбив отрезок {tQ> /,] |
точ |
ками t0 — т0< Т ] < .. . |
< хт= |
t\ на отрезки |
длины, |
меньшей е, получим для |
всякого х ( - ) е Л |
|
|
|
т |
%i |
т |
|
|
|
|
IIX( •) II, == У] |
J |х (t) |dt < |
со ( IXt — Т;_, I) < |
т, |
|
i = l |
T( _ , |
i = I |
|
|
|
т. е. множество А ограничено по норме в L". С другой стороны, если функционал х* принадлежит слабому’
замыканию множества А в (/.")*, то для любого
I (хт, У ( - ) ) \ < sup (х (•), у (• )>, |
|
*<-)еЛ |
т. е., в частности |
(см. § 8.3), |
II Хд | |
sup f |х (t) |dt ^ со (mes Д). |
Отсюда в силу предложения 5 из § 8.3 следует, что х* — абсолютно непрерывный функционал, т. е. он принадле
жит Li. Таким образом, равномерная суммируемость множества А достаточна для того, чтобы оно было от
носительно слабо компактно в Li. Столь же просто
доказывается и необходимость. |
|
С л е д с т в и е . |
Пусть множество |
A cz Li равномер |
но суммируемо и |
В — множество в |
Сп, образованное |
функциями |
t |
|
|
|
х (t) = х0+ J и (т) dx,
где ы ( - ) е Л . Тогда множество В относительно компакт но в Сп и всякий модуль суммируемости множества А является модулем непрерывности множества В.
9.1.3.Компактность лебсговских множеств. Мы нач
нем с |
доказательства |
двух вспомогательных |
лемм. |
|
Л е м м а 1. Пусть |
ср — измеримый интегрант на |
[/о, M X |
R"> удовлетворяющий условию роста. |
Тогда |
для |
|
§ 9 .1 . |
ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ |
373 |
всякого c g R функция |
|
| |
Iе I + |
|l rk 0) \dt |
|
а>с(0 = sup I |
in f--------- |
---------------- A c [ i 0, fj, |
m esA ^ H |
( k>0 |
R |
|
где rk( t ) = sup ф*(t, у), является модулем.
I У I < ь |
По условию функции t-+ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
~+У*(1>У) суммируемы для |
всякого у е Rn. Поэтому и |
все функции rh{t) суммируемы (доказательство этого факта дословно повторяет соответствующую часть дока зательства предложения 4 из § 8.3). Отсюда следует,
что (йс( 0 < ° ° Для всех / > 0 и сос(0) = 0. Неотрица тельность и монотонность функции (oc(t) очевидны.
Осталось проверить, что |
сос( 0 —►О |
при /-> 0 . |
Зафикси |
руем |
некоторое |
е > |
0 и |
выберем |
ke так, |
что |
|с|/6е ^ |
^ е/2. Поскольку |
rke(t) — суммируемая |
функция, |
мы |
можем указать такое б > |
0, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |rke (t) |Л < |
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
при mesAsST6. Но |
в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
11c 1+ JI4 {t) Idt |
mes A < |
6 |
|
|
|
со Д б Х з и р )---------^ |
------------ |
|
|
|
t. e. |
(oc(0 ^ |
e при /^ б , |
что и требовалось. |
|
[0, |
оо), |
Л е м м а |
2. |
Пусть |
и |
ф2— функции на |
удовлетворяющие следующим |
условиям: |
|
|
|
|
а) |
ф[ неотрицательна и выпукла на [0, оо) и ф, (0) = 0; |
б) ф2 неотрицательна, непрерывна и не убывает; |
|
в) |
/""'ф ^ )-^ 00 |
при t —yoо; |
|
|
|
|
|
|
г) |
существуют у > 0 |
и Я0 > 0 такие, что ф [(у-10 — |
— ф2( / + Я0) -> °° |
при t —>oо. |
|
|
|
|
|
|
Тогда для всякого с ^ 0 функция |
|
|
|
|
<*с (0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ { sup {я>0| Ф, ( г 'я ) - |
ф2 (Я + Яэ) < г ' с ] , |
если |
t > 0 , |
1 |
|
0, |
|
|
|
|
|
если |
^ = о, |
374 |
ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЯ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Функция |
неотрицательна |
по определению. С другой стороны, так как ф, выпукла и \р1(0) = 0, при 0 < / < у
Ф1 (у“ 'я) < Y_1^ i (*_'я) < Ф1 (Г'Я).
Отсюда в силу б)
У h>i (у~‘я) — ф2(Я + Я0)]'< t [ф, (Г 'я ) — 1)32(Я + Яо)],
что согласно условию г) и определению соc(t) дает
со,( / ) < toc(y) < °о,
т. е. со,(/) конечна на [0, у]. Это же рассуждение по казывает, что со не убывает по t. Наконец, если пред положить, что limac(;m) = e > 0 для некоторой после довательности tm-+ 0, то
С > |
(С ®(,Q ) - t j ?2 К ( * т ) + Яо) > |
|
> ®, (U е_1^т“ с ( С е) - |
К (*т) + Яо) = |
|
= |
со, (tm) [( ^ ’е )-' со, ( t f e ) - |
tm |
_> оо |
при т —*•оо в силу условия в). Полученное противоре
чие показывает, |
что to(/)-»0 при t ~ ►О. Лемма доказана. |
Т е о р е м а |
1. |
Пусть |
cp(t,x) — измеримый интегрант |
на [/0, / j X R ", |
удовлетворяющий условию |
роста. Тогда |
для всякого c e R |
множество |
|
Ас= |
{*( •) g=L?|У<р(х( •) ) < с } |
|
либо пусто, либо относительно слабо компактно в L", |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку интегрант <р удов |
летворяет условию роста, |
функция ср*(/, 0) = |
— inf<p(/, х) |
суммируема. Положим |
|
X |
|
|
|
|
ct = c + |
/|Ф*(*. 0)| Л. |
|
|
|
|
<0 |
|
Обозначим, далее, через фд (Л х) ограничение интегранта ф на А X R" и покажем, что для всяких измеримого
|
|
§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ |
|
375 |
множества |
Д с [< 0, <i] |
и |
* ( « ) е Л с справедливо |
нера |
венство |
|
|
|
J Ф (*, |
х (0)dt < |
|
|
|
Я'фд (* (• ))= |
<?,. |
|
В самом деле, |
’ |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
J qp{t, |
х (t)) dt — |
J* |
Ф* (t, |
0) dt > |
|
|
Д |
|
|
|
|
К о . < i |
l \ A |
|
|
|
|
|
|
|
t, |
|
|
|
|
|
|
( * ( • ) ) - J |ф* |
0)| dt, |
|
|
|
|
|
|
h |
|
откуда требуемое неравенство следует непосредственно.
Пусть, |
далее, |
|
|
(О (t) = |
sup ini |
ы + / к м idT |
Aci[^0, /,], mes Д |
_______________ A _______________________ |
|
к>0 |
k |
|
В силу леммы 1 a(f) есть модуль. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что u>(t) есть модуль суммируемости для Ас (если, конечно, это множество непусто). Пусть х( •) е Лс. Для всякой вектор-функции p ( ' ) ^ L l o по неравенству Юнга — Фенхеля
f ( р ( * ) 1 * ( 0 ) Л < ^ ф |
д |
(*(•))+ ^ ф- |
( р ( - ) ) < с , ' + ^ ф. (р(.)). |
J |
|
д |
д |
Поэтому |
для любого |
k |
|
k\\x{t)\dt =
д
=sup J J (p(t)\x(t))dt\p(-)<=Ll, | | p ( - ) I L < * } <
< s u p Jcj + J Ф*(#, p( 0) <f t |p( - ) eL" , | | p ( - ) L < * \ <
376 |
|
ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕН” " |
или, другими |
словами, |
|
|
|
‘ 1 + J V * 0 > | dt |
||*(/) |
inf ------~ 7--------- ^co(mesA)’ |
|
|
*>o |
|
Теорема |
доказана. |
f ( t , x , y ) — нормальный инте- |
С л е д с т в и е . Пусть |
ерант на |
[/0, M X R ^ X R " - |
Предположим, что для всех |
t, х, у |
|
f V, х, у) > ф {t, у), |
|
|
где ср — измеримый интегрант на [/0, *i] X R", удовлетво ряющий условию роста. Тогда для всякого c eR и для всякого ограниченного S cz R" множество
Дв= {*(■)€= Г?. i([fo, ^(лс (•))<<>}
либо пусто, либо относительно компактно в Сп([/0, Л])-
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ^ ( х ( - ) ) ^ с , то
• 9 Ч (*(-)Х Х - Требуемый результат следует из теоремы и следствия из предложения 2.
Для доказательства следующей теоремы нам пона добится одно неравенство, называемое интегральным неравенством Иенсена: если / — замкнутая собственная выпуклая функция на Rn, то для всякого измеримого множества А с : R конечной меры и для всякой векторфункцин л ( - ) е ! 1
| f (х (/)) dt > |
(mes А) / Г |
^ д - Jdt* (0 |
Л |
' |
д |
В самом деле, для всякого г/ e R "
