Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 9.1.

ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

377

Поэтому

| / (х (0) dt >

sup ( j y

j* x (t) dtj — (mes A) /* (*/)j =--

= (mes A) f

mesl Д

J X(t) dt

Т е о р е м а

2. Пусть функции if)! и if)2, определенные

на [0, оо), удовлетворяют условиям леммы

2. Тогда

для всякого с > 0 множество

Ве== [ х ( - ) е Г ? . ( ( [ 0 ,

2у]) |шах(| х (0) И * (2 у )| )< Я 0,

2V

с }

J [ifJi (I х (t) |) — г|)Д| х(/) |)]£?/<

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х ( - ) < = В с.

Положим

У

2 у

а! = | ! х (0 |dt,

а_> =

11 х (0 |dt.

о

у

Используя интегральное

неравенство Иенсеиа

и усло­

вие б) леммы 2, получаем

J2у[tid-MOD—Ы1*(01)]^ =

о

V

о

2у

+ J [ЪЛ\ *Ц) \) -- Ы\ x ( t ) \ ) ] d t >

Y

> yifi (y - 'ai) — yip2(Я0+

a,) -f уф( ( V 'a j) — Y^2 (Яэ + a2>

В силу условия г) леммы 2

inf (уф| (Y-Il) — Yti (Яо +

&)) = с, >

—

оо

5>о

(очевидно, кроме того, что

с, <

— уф2(Я0) < 0 ) .

Поэтому

Y^i (Y_ 'ai) — Y’te (Яо +

a ; X

с — с, = с2,

i =

1, 2,

378

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

и с2^ 0 . Отсюда

в силу леммы

2 следует,

что

Ai =

шах (а,, а2)

соС1(у) < оо

т. е. для

всякого элемента

х ( - ) ^ В с

неравенство

|x{t) |sg; Aor+

Ai выполняется

при

всех ^ е [0 , 2у] и, зна­

чит, множество Вс ограничено в С" ([0, 2у]).

Вместе с тем

О

для

всех

Нетрудно видеть, далее, что благо­

даря

условию в)

леммы 2 интегрант ф(/, у) =

( Ы )

—>оо при А—*оо;

поэтому верхняя

грань выражения

(р \у) — Ч » ( М ) п0

У конечна и достигается при вся­

ком р). Согласно теореме 1 множество

{х (• ) 1* (■ ) е= Вс) a

Li

§ 9 .1 . ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

379

Тогда почти при всех t

|X (/) ес«-'•> +

сХ (0 ес«-'о> |<

сХ (t) ес« - «

+

г (/),

|— |\(t) ес

— сц (t) ес(t~U) |

c\i (t) есa-U) +

г (/),

или

X(t) ее « - ^ < г ( 0 ,

|i(/)ec<'-'«>< г (0.

Поскольку X (t0) — a(t0) =

— и (to). отсюда

следует, что

Я(/)<а(<о)

+t г (Jт) е~с

dx,

р(/)^

*0

— а(t0) +

# Jг (т) е~с

dx.

tО

Поэтому, с одной стороны,

а(0= X(0

^1а(tQ) |+ J Iг (т) |e-«K-Wdtj

а с другой —

— а(/)= р

Лемма доказана.

3.

Рассмотрим

уравнение управ­

П р е д л о ж е н и е

ляемого объекта

х =

Ф(/,

х,

и),

u ^ U .

( 1)

условиям

Каратеодори и

для

всех

t е [/о, Л],

* е

Rn,

и е

U справедливо неравенство

| (дс Iф (/, дг, « ) ) | < с | х р

+

г ( 0 ,

где

с >

0,

a

r ( - ) e i | ( [ /0, Ч ).

Тогда,

каков

бы

ни

был

вектор

Хо е

R", множество

Q (х0)

решений

уравнения

(1)

с начальными условиями

х (/0) =

х0, определенных

на [to, / 1] и соответствующих всевозможным

измеримым

380

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

управлениям «(•), принимающим значения в U, относи­

тельно компактно в пространстве Cn([tQ, / 1]).

лишь

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

проверить

ограниченность

множества

Q (лг0) ,

так

как,

если

II*(•) II ^

k для всех * (•) е

Q (*0) , то для всякого * (•) <=

e Q W

почти

при каждом

i справедливо

неравенство

прерывность множества Q(x0).

Для доказательства

ограниченности

множества

Q(x0)

достаточно заме­

тить,

что если

jt(')e Q (jto )

соответствует

управлению

и (■),

то

2 (* (0 |<р (t, х (t), и ('/))) = -£f\ x{t)

р,

Т е о р е м а

3.

Пусть

f — нормальный

интегрант

на

[/о, ^i] X Rn X

Rn

Предположим, что

х ( ■) е Wf, 1

и

St( * ( • ) ) > — 00.

Тогда,

если интегрант

f

квазирегуля-