Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

381

венство

fe ^

ф.

Поэтому

при

таких е

в силу

предло­

жения

1

из

§

3.3

dom /‘ =

Rn. Положим

f' —

inif* и

покажем,

что

f* =

g’Xt-

Допустим,

что f

 

е > О

(z0) > g* (zfl)

для некоторого

20e R m.

Это

значит,

что

для

всякого

е > 0 найдутся J t,e R m и уе е

R" такие, что \х — хг |< е

и (2о |У,) -

8 К -

Уг) > §1 (2о) +

6- Покажем,

что

|уе | не

может стремиться к оо при

е —> 0 .

Выберем

еа столь

малым,

что

domfl = Rn. При е < е0

для всякого z g R"

справедливо неравенство f

^

(

z

)

*/е), откуда

sup{/;(z)| | z - z 0| < l}

> k |

+

£ 0(2o) +

6-

Если бы

|г/е|—►оо

при е —►О, то функция

была бы

неограничена сверху в единичном шаре с центром в точке zq, но это невозможно, так как в силу выбора е0 функция f' непрерывна на Rn (теорема 3 из § 3.5).

Можно считать без ограничения общности, что у*—*у при е —>0. Но тогда, поскольку функция g замкнута,

(У lz0)

~ g (*о- У ) > ( У

12о)—

В (*„ Уг) >

В* (2о) + 6-

вопреки

неравенству

Юнга — Фенхеля.

Итак,

=

Поэтому по теореме 2 из § 3.4

 

 

 

 

 

 

g

= f

=sup /в

= lim f.

 

 

 

 

 

 

е >0

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

 

 

 

3. Допустим, во­

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы

преки утверждению теоремы, что функционал 3

не яв­

ляется полунепрерывным снизу в точке х ( - )

относи­

тельно равномерной сходимости на

W'™|.

Это

значит,

что существует

последовательность

(*т (-)} из W?, i

равномерно сходящаяся к х(-)

и такая,

что

 

 

 

с =

lim Sf { х т ( •)) < Э ( х (•)).

 

 

 

 

т-»°о

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, в частности, существование такого чис­ ла k > 0, что при достаточно больших номерах т

382 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИИ

Последнее неравенство в силу теоремы 1 означает сла­

бую

относительную

компактность

последовательности

{Хт{')} в Li. Пусть

у( - ) — некоторая слабо предель­

ная

точка этой

последовательности. Тогда, поскольку

хт(-)

сходятся

равномерно к *(•), для всяких t, т,

*0 < т < * <

справедливо равенство

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

I y(s)ds = x(t )— x(x),

 

 

 

x { t ) = x

(t0) + J

y(x) dx.

 

 

 

 

 

t.

 

 

 

Последнее соотношение

в силу

теоремы Радона — Ни­

кодима определяет у (t)

однозначно;

именно,

y(t) — x(t).

Таким Образом,

последовательность {хт( ■)}

имеет един­

ственную слабо предельную точку х ( - ) , и значит, хт( - ) сходятся слабо к *(■)•

Применяя теорему Мазура (следствие 3 из второй теоремы отделимости), мы можем построить последо­

вательность У\(-), у2 (* )>

•■•

выпуклых

комбинаций

функций хт(-), сходящуюся к

х ( - )

 

по

норме про­

странства 1л. Имеем

 

 

 

 

 

s(()

s(0

 

 

 

 

«/<(•)= S VijXmij(-),

2 а ; / = 1

,

аг/> 0 .

Положим

 

 

 

 

 

s (1)

 

 

 

 

( ‘ ) ==

а <

( ’ )•

 

 

 

/=1

 

11

 

 

 

Очевидно, что yi ( - ) — Zi(-). Без ограничения общности

можно считать, что т т т г/—>-оо при г'->оо. Поэтому i

мы можем выбрать сходящуюся к нулю последователь­ ность чисел е ,—»-0 так, чтобы для всех

Положим

§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

383

Имеем для произвольного фиксированного А, > 0 и для достаточно больших номеров i

s{i)

с + А > 2 а^ ( ^ / ( - ) ) =

/=1

s(D <i

=^ xmu(t), xm.} {t))dt>

/= 1

и

 

 

sU)

t ,

 

u

> 2

<*'/ J Л‘ <(*.

W) dt >

J h*' (t, y t (/)) dt.

/=1

tt>

 

u

С другой стороны, если e* <

e, то

 

hl](t,

у ) > ч Г ( и

 

0).

Поскольку интегрант cp удовлетворяет

условию роста,

функция ф*(/, 0) суммируема. Поэтому по теореме Фату

 

<>

б

limh\'(t,

 

lim f

h” (t,

y i {t))dt^ J

y t {t))dt.

i->

oo t

*

f

oo

*

 

 

*0

 

*0

 

 

 

Но уi (•)

сильно сходятся к x (•)

в Li,

и мы без огра­

ничения общности можем считать, что yi (t) -> х (t) почти

везде. Однако при каждом t,

при котором эта сходи­

мость

имеет место,

>

limhl]t(t,

уt (0)> hfit (/,

* (0),

limhi] (t,

yt (t))

i-+ oo

 

 

 

 

oo

 

 

каков

бы ни

был

фиксированный номер i0.

Наконец,

по лемме 4 limhi] (t,

х (t)) = f (t, x(t), x{t)).

 

 

(-♦oo

1

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

limft,

h]](t,

y,(*))««> J<./(/, дс(0, xif))dt,

 

l~>°° и

 

‘

 

 

<.

 

т. e. ^ ( x ( - ) ) ^ c , в противоречии с предположением. Теорема доказана.

384

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

§9.2. Теоремы существования решений

9.2.1.Общие теоремы. Начнем с исследования за­

дач вида

"^(*(•))= Jиf{t,

х (О,

X (f)) dt -* inf;

(1)

 

fo

 

 

 

 

 

 

x{to) = x0,

x{tx)<=A,

 

 

(2)

где f — нормальный

интегрант

на

[f0, fi] X R" X

R",

j 0e R n и ^4c:Rn — замкнутое

множество. Если A =

{xi}

и f — гладкая действительная

функция, то

задача

(1),

(2)— это простейшая

задача

классического

вариацион­

ного исчисления. Однако в схему

(1),

(2) укладываются

и другие задачи, например задачи вариационного исчис­ ления с различными ограничениями на область измене­ ния переменной г и ее производной х. Например, задача

<■

J g(t, x(t), x(t))dt-> inf; *0

(x,

x) e= U (t),

f<=[f0, fi],

X {to) = x0,

x (f,) <= A

приводится к виду

(1), (2), если положить

f

g(t, х, у)

при

(x ,y)<=U(t ),

' ’ х, у) j

оо

при

(Х) у) ф и {t).

(Если при этом интегрант g и многозначное отображе­ ние U нормальны, то и f — нормальный интегрант (следствие 1 из теоремы 3 § 8.1).) Далее мы увидим, что проблема существования решений в задачах опти­ мального управления тоже сводится к исследованию за­

дач вида (1), (2).

f — нормальный квазирегуляр-

Т е о р е м а 1. Пусть

ный интегрант на [f0, fi] X

R" X R". допускающий оценку

f(t, х,

y ) > y { t ,

у),

 

 

где ср — измеримый интегрант на

[fo.fi], удовлетворяю­

щий условию роста. Тогда, если

значение

задачи

(1),

(2) конечно, то существует вектор-функция

х ( * ) е

^ ц ь

§ 92. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

385

удовлетворяющая условиям (2 ) и являющаяся решением

задачи ( 1), (2 ).

 

 

Применим

следствие из

тео­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ремы

1, теорему 3

из § 9.1

и следствие из теоремы

Вей-

ерштрасса (§ 0.1).

Пусть f — нормальный

квазирегуляр-

Т е о р е м а

2.

ный интегрант на [ta,

X

Rn X R"> допускающий оценку

 

f{t, х, у)

 

(| у |) — тЫ! * I) +

r(t),

 

 

 

где r{t) суммируема на [/oXi], а функции

 

и ф2 удов­

летворяют следующим условиям:

 

 

 

и фДО) =

0;

а)

неотрицательна и выпукла на [0, оо)

б)

^2 неотрицательна,

непрерывна

и не

убывает

на

[0, оо);

 

при К—* оо\

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

(Я )—>•оо

 

Яо >

 

 

 

 

 

г)

существуют

числа

у > 0

и

0

такие,

что

tyi(Y-1^-)— Ф2

Т~ ^-о)

* оо при Х—*оо.

 

 

 

(1),

(2)

Предположим далее, что значение задачи

конечно. Тогда, если

t\— 10 ^ 2у,

|лг0|^

Хо и \хх|^ К0

для

всякого

x t е

/ 1,

то

существует

вектор-функция

x ( - ) ^ W i и

удовлетворяющая

условиям

(2 )

и являю­

щаяся решением задачи ( 1), (2 ).

 

теоремы

2,

3

из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим

§ 9.1 и следствие из теоремы Вейерштрасса

(§

0.1).

 

Заметим, что области приложения теорем 1 и 2

раз­

личны. Например,

в

примере Гильберта

(пример

3

из

§ 2.2)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j t lsx2dt-> inf;

л:(0) =

0,

х ( 1) =

1 ,

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение существует в силу теоремы 1

(сопряженный

интегрант р l(4tl3)

суммируем при всяком р).

С другой

стороны, не существует функции вида ^ ( у ) т (t), удов­ летворяющей условиям теоремы 2 и являющейся мино­

рантой для f(t, у) = {'3у2. Поэтому теорема 2 к данной задаче не приложима. Наоборот, теорема 1 не дает воз­ можности высказать какое-либо суждение о существо­ вании решения в задаче

т

*(0) = 0, х(Т) = а.

J (\х\п — |л: Н с?/ —> inf;

о

 

13 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров

Смотрите также файлы