Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

386

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Посмотрим, что можно сказать о существовании реше­ ния в этой задаче, пользуясь теоремой 2. Если п < т, то теорема не дает ответа на вопрос о существовании решения (не выполнено условие г)). Однако в этом случае значение задачи равно — оо. Достаточно рас­ смотреть последовательность

kt,

если

0 ^ .t ^Т/2,

kT/2 — k{t — 772),

если

Т/2 < t < Т.

Следовательно, решения не существует. Если п '> т , из теоремы следует существование решения при всяком Т.

Наконец,

если п — пг, то

по теореме 2 решение

суще­

ствует

при всяком

Т -< 2.

С другой стороны, при

Т > 2

можно

выбрать k

настолько большим, чтобы при п —

.= щ =

k или п =

т — 1

ДД/& значение задачи

равня­

лось бы — оо.

 

 

 

9.2.2.

Существование решений в задачах оптимально­

го управления. Мы будем рассматривать здесь задачу оптимального управления в несколько более общей фор­ ме, чем в гл. 2 :

3 (х (•),

и (•)) =

J f (t, х (0 ,

и (0 ) dt ->• inf;

(3)

r

e l , u ^ U ,

t ^ [ t Q, t j],

(4)

 

X (/0) =

х0,

х (/,) е

А,

(5)

 

Х =

ф(/,

х, и).

 

(6)

Как обычно, X с Rn, U a Rm, A a Rn. Множества X, U и А мы всегда будем предполагать замкнутыми, а к функции / и отображению <р предъявляем следующие требования:

I. f и ф удовлетворяют условиям Каратеодори, т. е, непрерывны по (х, и) при всяком t е [fo, <i] и измеримы по / при всяких (х, и).

II. Каково бы ни было ограниченное множество С сд

.сд Rn X Rm, функция

sup (I f(t, X, и) |+ |<p(f, X, и) |)

(х, и)<=С

суммируема.

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

387

Допустимыми управлениями будем считать произ­ вольные измеримые (а не обязательно ограниченные из­ меримые, как в гл. 2 ) вектор-функции и (-) со значе­ ниями в U. В следующем пункте мы обсудим причины, побуждающие нас таким образом расширять класс до­ пустимых управлений.

Положим

h (t, х, у) — inf { / (t, х, u)\ue.U, cp(t, x, и) = у)

и рассмотрим задачу

 

 

 

2Гц(х(-)) =

j

h(t, х, x)dt~* inf;

 

 

(7)

 

 

 

 

 

*0

 

 

 

 

 

 

 

 

х (•) е

Wl и

х (to) =

х0,

х (t{) <= А.

 

(8)

Это задача вида (1), (2).

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1. Функция h (t,x,y) есть измеримый инте-

грант.

Если h — нормальный интегрант и для всяких t,

х, у таких, что h(t, х, у)

<< оо, найдется и е

U, для кото­

рого

ф(t,x,it) =

y, f(t, х, и) =

h(t, х, у),

то

для

всякой

х( •) е

W7" 1 ,

для

которой Ffh(x( •)) < оо,

существует по

крайней мере одно допустимое управление u(t)

такое,

что ф (t, x(t),

u(t)) = x(t)

почти везде и 3 (*(•),

«(• )) =

=

(х ( •)).

В частности,

в задаче

(3) — (6)

решение

существует тогда и только тогда, когда задача

(7), (8)

имеет

решение.

Более

того,

управляемый

 

процесс

(х(-), и (-))

в том и только том случае является реше­

нием задачи

(3) — (6),

 

когда

х ( - ) — решение

 

задачи

(7), (8).

 

 

 

Тот факт,

что h — измеримый

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

интегрант, по существу, доказан в начале п. 8.1.4. Пусть h — нормальный интегрант. Тогда h (t,x (t),x (t)) — изме­

римая функция для всякой х (- ) ^W i, I (предложение 8 из § 8.1). Рассмотрим многозначное отображение

t F (t) = [и е= Rm|и <= U, ф (t,

х (t),

и) -

 

= x(t), f(t, x(t),

u) — h(t,

x(t), x(t))}.

По условию множества F(t)

непусты почти

при всех t.

Для доказательства первой части леммы достаточно теперь проверить, что отображение F измеримо, и

13*

388

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

применить

теорему измеримого выбора. Заметим, что

в силу определения функции h

F(t) = {и е

U |ф (/, х (t),

и) =

 

=

х (/), f{t, x{t), « )< /г (/, x(t), х (t))}.

Но в этом случае отображение F измеримо согласно следствию 2 теоремы 3 из § 8.1. Для доказательства второй части леммы достаточно заметить, что для вся­ кого управляемого процесса, допустимого в задаче

(3) - (6),

2 ( х ( - ) , u ( - ) ) > S t h(x(-)),

иприменить уже доказанный результат. Лемма до­

казана.

Из этой леммы следует, в частности, что, предъявляя к элементам задачи (3) — (6) требования, обеспечиваю­ щие выполнение условий леммы 1 и гарантирующие су­ ществование решения в задаче (7), (8), мы всякий раз будем получать некоторую теорему существования в за­

даче (3) — (6).

Если

значение задачи

(3) —

(6)

ко­

Т е о р е м а 3.

нечно и функция h(t,x,y)

выпукла по у, то для сущест­

вования решения в задаче (3) — (6)

достаточно выпол­

нения одного из следующих условий:

 

 

функция

а) существует число

k >

0,

суммируемая

r(t)

и интегрант ty(t,u)

на

[to, ti]X R,n,

удовлетворяю­

щий условию роста, такие, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t, х,

и) > ф ( ^ , и),

 

 

 

 

(9)

 

 

|qp(f, х, и) К

k\

и |+

г (0

 

 

 

(10)

для

всех /е| 70, fj,

г е Х ,

u

e U\

множества

В czX

б) для

всякого

 

ограниченного

можно указать такие k > 0 ,

r ( - ) e Li

и интегрант ф на

[/„, ti] X R m, удовлетворяющий условию роста,

при кото­

рых

соотношения

(9),

(10)

выполняются

для

всех

t е

[/о, ti],

г е В ,

u

e

( i

и, кроме того,

существуют кон­

станты k \ > 0 , с >

0

и суммируемая

функция r\{t)

та­

кие,

что

/ (t,

х,

и) >

ki |<р {t, х, и)

|-f г, (0

 

 

 

 

 

 

 

( И )

для всех t е [/0,Л],

\ х \ ^ с и u^U \

 

 

 

§ 92. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

 

389

 

r)

множество U ограничено и существуют число £ > 0

и суммируемая функция r(t)

 

такие,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|(дс|ф(/,

 

и))|< Л |*р + г(0

 

 

 

(12)

для всех t е

[/о,

х е

X,

и ^

U-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф2,

г)

 

существуют определенные на [0, оо)

функции

и

удовлетворяющие

условиям

а ) — г)

теоремы

2 ,

и

суммируемая функция r(t)

такие, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t,

х,

и) >

1))! (| ф (t,

х,

и) |) — -фг(I х I) +

г (0

(13)

для

всех

t <= [/0, ti],

х е

X,

и е

U

и,

 

кроме

того,

| ф ( / ,

х, и) |—|►оо при

|гг| —►оэ

равномерно

в окрестности

каждой точки н е К

при всяком t е

[/о,

/1].

 

 

 

что

во

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Прежде

всего

докажем,

всех перечисленных

случаях

h — нормальный

инте-

грант и нижняя грань в определении h достигается,

если

/г <

оо. В случае в) это очевидно, поскольку

множество

U компактно, а функции f и ф непрерывны по и. В слу­

чае г ) всякое множество

{и е

U\q>(t, х, и) =

у}

компакт­

но,

так как ф непрерывна

 

по и и

|ф(/, х,

и) |—►оо

при

|«|—>оо. Поэтому и здесь нижняя грань в опре­

делении h достигается. Пусть, далее, л:5—»-х, ys—>-у

и

lim h(t, xs, ys) < оо.

По

доказанному

можно

выбрать

такие us <= U,

что f (t, xs, us) =

h (t, xs, ys),ф {tfixs, us) = ys.

Так

как

1ф (^, x,

н)|—> o o

 

при

\и\—* оо

равномерно

в

окрестности каждой точки х при всяком t, последова­

тельность {«,} ограничена. Если

и — предельная

точка

этой последовательности, то из-за непрерывности / и ф

по

(х, и) выполнено равенство ф (t,x,u)

— у

и

 

 

 

 

 

h{t,

х, y)<^f(t,

х,

и

)

lim/ (t,

xs,

us),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ->oo

 

 

 

 

 

 

 

t . e. h полунепрерывна

снизу по

(x, у)

и,

значит,

h —•

нормальный

интегрант.

 

В случаях

а) и б)

для доказа­

тельства нужного утверждения достаточно проверить,

что

\p(t, и ) -*■ оо

при

 

h | -voo почти

при

всяком

t,

поскольку

 

в

этом

 

случае

 

всякое

 

множество

{и <= U\f(t, х, и) <

с}

компактно и из xs - * x ,

f(t, х3, us) <

 

^

с

следует,

что

последовательность

{и„}

ограничена.

По условию функции / —>ф*(/, р) суммируемы

при вся­

ком р е Rm. Отсюда

сразу

следует, что

 

эффективные

390 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

множества функций ф*(/, •)

почти при всех t совпадают

с R"1. Но при таких t, очевидно, что

ф(/, w )^ | «| — max ф* (t,

р) -* оо при [м|->оо.

I р К 1

 

Итак, во всех случаях h — нормальный интегрант и нижняя грань в определении h достигается. В силу леммы 1 нам теперь достаточно доказать существова­ ние решения в задаче (7), (8).

Сл у ч а й а). Положим

% {t, у) = inf {ф {t, и) |и е= U, k |и |+ /-(/)> I у I).

Тогда

согласно (9),

(10)

 

 

 

h 01, х,

у) =

inf {/ (t,

х, и) |и <= I/, ф (t,

х, и) =

у } >

 

^

inf {ф (t,

и) |и s

U, ф (t, х,

и) = у\~^

 

> in f (ф(*,

и) |«е= U, |ф (/, х,

и) |= |у |) >

 

^ inf {ф (t,

u )\ u ^ U ,

k \и |+ г (t)

у |} = X (t, у)-

Покажем, что интегрант X удовлетворяет условию роста.

Имеем

X’ (t, q) — sup ((<7|у ) — Х (/, 0))<sup(|< 7 ||0 |— X{t, у)) =

V У

 

=

sup (ArJ ^ II м |— ф (t, u)) + \q\r{t)) =

 

 

U

= 1

q \r\t) +

sup {sup ((p| и)— ф (/,«)) |peR 'ra,| p |</e| q |J=

 

 

U

=

1q \r (t) +

sup {ф*(/, p) \p <= R"\ \p \<.k\ q\] = a (t, q).

Но поскольку ф удовлетворяет условию роста, функция a{t,q) суммируема. Таким образом, функции t-*X*(t,q) суммируемы при всех i?E R n и, значит, X удовлетворяет условию роста. Из теоремы 1 следует теперь существо­

вание решения в задаче

(7), (8). Итак, в случае а) тео­

рема верна.

 

 

 

 

.>

С л у ч а й б). Пусть нижняя грань в задаче (3) — (6)

равна а. Предположим,

далее,

что

(х (•)>«(•))— Допу­

стимый управляемый

процесс

в

задаче

(3) — (6) и

3 {х (• ),? и (•))

-{- 1.

Выберем k\ > 0,

суммируемую

функцию п (0

и интегрант ф](^, и)

на [4 , fi] X Rm, удов­

летворяющий

условию

роста,

так,

чтобы

соотношения

Смотрите также файлы