Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
|
|
§ |
9.2. ТЕОРЕМЫ |
СУЩЕСТВОВАНИЯ |
РЕШЕНИИ |
|
|
391 |
|||||||
( 9 ), (10) выполнялись при |
всех t<=[t0, t x\, х<=Х, |
| х | < с , |
|||||||||||||
и е |
0. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in f |
{/ (t, х, и) |х е |
X, |
| х К |
с, |
и е |
U] > |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
> |
inf ф, (t, |
и) > |
inf ф, (t, |
и) = |
— |
грТ (t, |
0) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
и ф* (t, 0) — суммируемая функция. Положим |
|
|
|
||||||||||||
A o = { * e [ f 0, |
|
|
|
|
A! = |
{ f< = [ f 0. |
f i] || x(t) | > |
c). |
|||||||
Тогда |
для |
всякого |
i e |
[/0, |
tx] |
в силу |
(11) |
|
|
|
|
||||
\x (t) | < U o |
I + c + |
J I Ф (t, |
x{t), и (t)) | dt < |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1 * 0 I + C + k T l. J |
fit, |
X(t), |
U(t))dt + |
J k , |
(t)\dt^\x0\+ |
||||||||||
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
-\-c - |
ki 1( a + 1 ) + |
f |
| n |
(0 [ dt — ki |
J |
/ (/, |
x (t), |
и (t)) dt ^ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
<1 xo I “b c "b ki 1(a 4“ 1) 4* J I ri (t) \dt + k\ |
J ф* (t,0) dt ^ |
||||||||||||||
<1 *o|+ c + k\ 1(a+ 1) + J (In (t) | + 1ф* (t, |
Ao |
|
|
|
|||||||||||
0) |) dt —c0. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы |
получили, что |
для всякого |
управляемого |
процесса |
|||||||||||
(х (• ),«(• )), допустимого |
в |
задаче (3) — (6) |
и |
такого, |
|||||||||||
что j ( x ( - ) , и (-)) |
^ |
a + 1, |
при |
всех |
t ^ [ t 0, t i] |
справед- |
|||||||||
ливо |
неравенство |
| х ( / ) | ^ с 0. |
Пусть |
теперь |
Xi |
= |
|||||||||
= |
{х е |
X | |х |^ |
с0}. Рассмотрим задачу |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 { х { •). « ( • ) ) = { / ( * . * (0, |
U (0) dt -> inf; |
(14) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = ф (t, |
X, |
и), |
|
|
|
|
(15) |
|||
|
|
|
|
|
|
u ^ U , |
t (= [f0, |
/j], |
|
|
(16) |
||||
|
|
|
|
X (t0) = xo, x(f,) <= A. |
|
|
|
(17) |
|||||||
По доказанному эта задача имеет то же значение и те же решения (если таковые существуют), что и задача
392ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ
(3)— (6). Однако для последней задачи выполняются
условия, |
сформулированные |
в а). Поэтому |
в задаче |
|
(14) — (17) и, |
следовательно, |
в задаче (3) — (6) |
решения |
|
существуют. |
в). Из условия |
(12) в силу предложения 3 |
||
С л у ч а й |
||||
из § 9.1 |
следует существование такой константы с > О, |
|||
что | х (/)| ^ с при ( е |
[(о, С] для всех управляемых про |
|||||
цессов ( х ( - ) , и ( - ) ) , допустимых |
в |
задаче |
(3) — (6). |
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
X (0 = inf {/((, .г, |
и)|х<=Х, |дс|<с, н е |
(У); |
||||
|
( |
X(t), |
если |
и |
U, |
|
Ф(*. и) = \ |
оо, |
если |
и ф и . |
|
||
|
{ |
|
||||
Пнтегрант ф удовлетворяет условию роста, ибо
ф‘ ((, p) = s(p\ U) — X{t)
и, |
значит, поскольку |
U |
ограничено |
и X(t) |
суммируема |
|||
(в силу условия |
II на стр. 386), |
|
|
|
||||
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
|
J ф* (t, p)dt = |
s(p |V) (/, — t(l) — J X(t) dt < |
oo |
||||
|
*0 |
|
|
|
^0 |
|
|
|
для |
всякого |
p e |
R,n. |
Положим, |
наконец, |
Xt — |
||
= |
{x e |
X | |a'| ^ |
с} |
и рассмотрим |
задачу |
(14) — (17). |
||
Эта задача имеет то же значение и те же решения, что
и задача |
(3) — (6). Но для всех ( е |
[/0, fi], x ^ X t, u ^ U |
||
справедливы неравенства |
|
|||
|
f(t, |
х, |
« )> ф (С и), |
|
|
|ср (/, |
а:, |
и) |< г (t) -f |
kc2. |
Поэтому |
п в данном случае задача |
(14)— (17) удовлет |
||
воряет условиям, сформулированным в а), и, следова тельно, у нее существует решение.
С л у ч а й |
г). |
Согласно условию (13) |
h (t, |
х, |
г /)> ф, (| у |) — ф2 (1 * I) + r(t). |
Поэтому существование решения у задачи (7), (8) сле дует из теоремы 2. Теорема полностью доказана.
Самое «неудобное» условие в формулировке теоре мы 3 — требование выпуклости интегранта h по у. Пря мая проверка этого условия не всегда возможна и
§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ |
393 |
зачастую удобнее пользоваться теми или иными косвен ными критериями. Один из таких критериев мы сейчас докажем.
Пусть р е R". Положим
H(t, х, р, и) = {р|ф (t, х, и)) f (t, x, и).
П р е д л о ж е н и е 1. При выполнении любого из условий а)—г) теоремы 3 для выпуклости интегранта h по у достаточно, чтобы при всяких ^ е [/0, t\\ i e R " , р е R" множество
Q (t, х, р) = [у <= R'! |3 и <= U: |
Н (t, |
х, |
р, и) = |
|
— max Н (t, х, |
р, |
v), ф (/, х, и) = |
у} |
|
teU |
|
|
|
|
было непустым и выпуклым. |
определения функции |
h |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из |
||||
следует, что |
|
|
|
|
h* (t, x, р) — sup Н (t, х, р, и). ut=U
Кроме того, при доказательстве теоремы было показано, что /г — нормальный интегрант, dom h* (t, х, •) = Rn и нижняя грань в определении h достигается почти при всех t. Поскольку h полунепрерывна снизу по у, нам до
статочно |
проверить, |
что |
h(t, х, у) = |
h** (t, х, у) |
при |
|||
у е ri (dom h** (t, x, •)). |
В этом |
случае dyh** (t, x, у) ф |
0 . |
|||||
Пусть р ^dyh** (t,x,y). |
Тогда у е dph* (t, х, р ). Так |
как |
||||||
р е int(dom If (t, х, |
•)) = |
Rn |
и |
функция y -+ h (t,x ,y ) |
||||
замкнута, |
найдутся |
такие |
числа ai ^ |
0, ... , а п+\ ^ О, |
||||
в сумме равные единице, |
и векторы у\ е |
dhf (t, х, р), .. . |
||||||
. . . , уп+[ е |
dhp (t, х, р), |
что |
|
|
|
|
||
|
У — ail/i + |
••• Ч- а.п +1Уп +1г |
|
|||||
h(t, |
х, yf) = |
h " if., |
х, |
yf), |
i = 1 .........n -f 1 . |
|
||
(Этот факт доказывается ниже, см. лемму 1 из § 9.3.)
Тогда, |
с одной стороны, найдутся |
такие |
и ,<= U, .. . |
|
||||||||
.. ., |
un+i е= U, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (/, |
х, |
uf)=z уI, |
h it, |
х, |
yf) = f (t, |
x, |
uf, |
i = |
1 , |
. . . , |
n -|- 1 |
, |
а, с другой, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h4 (t, |
x, |
pi) = (p| Ф (t, |
x, |
Ui)) — f (t, |
x, |
uf), |
i = |
1 , . . . , |
n -f 1 . |
|||