Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (14,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ	395
каковы бы ни были t, х, у и z <= Rn, z Ф 0. Пусть,	далее,
f { t , x , y ) ^ ^ { \ y \ ) — ty2(\x\)	(18)

при всех t, х, у и для всякого с >» 0 найдутся константа

k >	0 и суммируемая функция				r(t)	такие,	что
		\fx{t,	х,	г/) \| < Ь М 1	г/ 1)+ г(0,		(19)
		\fy (t,	х,	г/)К А м М 1 У\) +		гЦ)	(20)
для	всех t е	[/о, t\],	У е Rn и х <= Rn,			j л:\|^	с, где функ
ции г\|тт и г\|)2		удовлетворяют условиям				а )—г) теоремы 2 .
Тогда, если		X = Rn,		tl — t0 <:2y, то в задаче (1), (2)

существует дважды непрерывно дифференцируемое ре шение, удовлетворяющее уравнению Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Прежде всего покажем, что
вектор-функция	x (t)^ W i,u		удовлетворяющая	почти
при всех t уравнению Эйлера			в форме Дюбуа-Раймона
	t
fy (t, х,	х) — J fx (т,	x,	x) dx = d = const,	(2 1 )
	u

дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению Эйлера. Для этого рассмотрим функцию

Эта функция дважды непрерывно дифференцируема по обоим аргументам, а при каждом t выпукла по у и удов летворяет неравенству


g(t,	У )>^Л \ У I) — Ф2 ( U (0 I) +					(a(t)I y) =	h(t,	у). (2 2 )
Поскольку х (-) ограничена, a					a(t) непрерывна при вся
ком t,	dorng*^, • )=		R” в силу условия в) теоремы 2 и
предложения		1 пз §	3.3. Это значит, в частности, что при
всяком	t функция		p -* g * (t,p )			непрерывна	на	Rn и
dg*(t, О ) ф 0		(предложение 4,			§ 4.2). Поэтому для вся
кого t	можно указать			такой	вектор y(t),		что	г/( 0 =
е dg* (t, 0). Поскольку g				дифференцируема по у,				отсюда
получаем			gy (t, y {t))^ 0.					(23)

396 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

Условие (23) означает, что функция g достигает мини мума по у в точке y(t). С другой стороны, поскольку вторая производная g yv(t, у) — fvy(t, x(t), у) положи тельна, функция g может достигать минимума не более чем в одной точке. Итак, при всяком t уравнение (23) имеет ровно одно решение. По той же причине при каж дом t линейное отображение z -+ gy(t, y {t))z есть гомео морфизм. Из теоремы о неявной функции следует те перь, что y(i) непрерывно дифференцируема.

Соотношение	(23) можно переписать так:
	t
fy У, х (/),	у (0 ) — \| fx (t, х (t), x (0 ) dt = d.

Сравнивая его с (21) и учитывая единственность реше

ния уравнения (23), получаем, что					x(t) =	y(t)	почти
везде и, следовательно, поскольку					y(t) непрерывна,
x(t) =	y(t)	при всех		t. Мы получили, что x(t) дважды
дифференцируема			и	удовлетворяет	условию	(2 1 )	при
всех	t.	Но в	этом случае вектор-функция				t —*
—*fv(t, x(t), x(t))			непрерывно дифференцируема и
		x(t),		x ( t ) ) - f x (t, X ( t ) ,	x (t )) ^	0.

Таким образом, для доказательства теоремы нам

нужно убедиться в существовании решения класса W", i , почти всюду удовлетворяющего уравнению (21). В силу

теоремы 2 наша задача имеет решение xt (•) е Wi, i. Покажем, что это решение — искомое. Положим

Дт = {/<=[*о, *,] |x,(t) |</п ), т = 1, 2, . . . ,

и обозначим через М множество таких ?/(•)<=/.£,, кото рые обращаются в нуль на некотором множестве Дт и

интеграл	от которых равен нулю. Пусть х ( - ) е № " д и
i ( ’ ) e M	(в частности, x{tQ) = x{t{) = 0). Покажем, что
lim Я,- 1 [У (x J . ) +		k x ( - ) ) - V ( x , ( - ))] =
я-»о
tl		(t)) \х if)) + (fy if, xt (t), X , if)) \| X (/))] dt. (24)
= J Шх (t, X , (t), X ,

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ

397

О т с ю д а т р е б у е м ы й

р е з у л ь т а т

с л е д у е т н е п о ср е д ств е н н о .

В с а м о м

дел е,

и н тегр и р у я

в т о р о е

сл а г а е м о е

(2 4 )

по

ч а стя м

и у ч и ты в а я ,

ч то

х * ( - )

— р е ш е н и е

за дачи ,

п о л у

чим , что

J (fj (t,

х. (О,

К (0 )

—

*о

—

fx(x,

X, (т),

х, (r))dr\ y(t)) dt =

(25)

для

всех

y ( - ) ^ M .

(Вектор-функции fx {t,

xt (t),

x_(t)) и

fy (t,

x, (/),

xt (t))

суммируемы в силу условий

(18) — (20).

Чтобы

убедиться

этом,

достаточно

выбрать

k > 0

и / - ( - ) e Li

так,

чтобы

(19),

(20)

выполнялись

при

с =

||дс(•) |1с-)

Но

множество

плотно

подпрост

ранстве

L={*/(.)eL"| j y(t)dt =

0j.

Поэтому равенство (25) выполняется для всех у ( •) е

а это

значит,

что

x, (г),

f y (t,

X, (t),

X, (t)) — I

f x

(t,

X' (г)) dr =

const

почти

везде.

доказать

равенство

(24).

Положим

Нам

осталось

для

краткости

d (t,

t) =

(fx (t,

X . (/) +

lx (t),

X ,

(t) +

lx (t)) IX (D) +

( f y (t,

(t)

E x

( /), X . ( 0

l x

( 0 )

(/)) .

Тогда

при всяких 1 e

[4,

A >

/ (t,

(t) +

Ax (/),

x, (/) +

Ax (t)) —

- f ( t ,

X , ( t ) ,

x ,( t ) ) = \ d ( t ,

l)dl.

3 9 8

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Положим, далее,

е (t, Я) = Я " 1 J d(t, l)dl.

Поскольку d непрерывна по |,

е (t, Я) —> d (t, 0) при Я j 0.

С другой стороны, выбрав константу k > 0 и cyMMiipyej мую функцию r(tf) так, чтобы соотношения (19), (20) выполнялись при с = |[а;*(•) ||с + |U(•) Нс, получим для всякого | е [0, 1]

d(t, l ) < b M I * . ( 0 l + U ( 0 l ) ( U ( 0 l	+
+	\x(t)\) + 2r(t) = q(t).

Функция q(t) суммируема, так как х ( - ) е М . Поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимости

Но по определению
Jб e(t,	Х)си = к - 1[ЗГ(х.(-) + к х ( ’ ) ) — 2Г{Х' (•))],
J d (t, 0 ) d t = j [(fx (t,		x, (0, i .	(0)I x (t)) +
		+	(fy (t, x,(t), x„(t))\x(t))]dt,
откуда и следует равенство (24). Теорема доказана.
9.2.4.	Теорема	Боголюбова. В конце п. 2.2.3. было

упомянуто о том, что с теоретической точки зрения не обходимое условие Вейерштрасса можно считать всегда выполненным. Точный смысл этому утверждению при дает следующий результат. Пусть L(t, х, £) — непрерыв ный интегрант,

9 h{x (• ) ) = J L (t, x, x) dt

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

399

функционал простейшей вариационной задачи класси ческого вариационного исчисления и

9 l» (*(•)) = / L” (t, х, x)dt to

функционал, где в качестве интегранта взята функция L** (t, х, ц ), являющаяся второй сопряженной по Юнгу — Фенхелю функции £—» L(t, х, £). Интегрант L**(t,x,x) квазирегулярен (т. е. является выпуклой функцией по следнего аргумента), кроме того имеет место такое не

равенство: L** (t, х, х) ^ L (t, х, х)

(оба

эти факта

сле

дуют

из

теоремы

Фенхеля — Моро).

Из

последнего

не

равенства вытекает,

что

Т е о р е м а

5 (Боголюбов).

(*(•))•

(26)

Для любой вектор-функ

ции х ( •) *= Wta, 1 ( [/о,

^i])

найдется

последовательность

функций i ffl( - ) e C | (

[/0,

t{\)

такая,

что xm(t0) = х (t0),

x m {U ) =

x(ti), хт( - )

стремится к

х ( - )

равномерно

на

[to,

и,

кроме

того,

Пт ^ ( * „ ( - ) ) < ^ «

(*(•))•

(27)

т -> оо

Сопоставление

неравенства

(26)

и теоремы 5 пока

зывает, что задачи

Д L{x (• ))-> inf;

x(ti) = ll, i — 0,

1 и

Уl**(■* (• ))—> inf; х (ti) = |г, i =

0, 1

эквивалентны: у

них

одни и те же значения и одни и те же минимизирующие последовательности. Результат, подобный теореме 5, верен и для общих задач оптимального управления. Из него следует, что требования выпуклости, накладывав шиеся выше в теоремах существования, можно всегда считать выполненными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ограничимся построением по следовательности {*„(•)}» состоящей из функций про

странства 1 ([^о. М)- Переход от этой последователь ности к последовательности элементов из Cl совсем

прост. По заданному числу пг =	1, 2,	. . . найдем е =	е (ш)
так, чтобы
max L (t, х (t) + х, х (t) + у) ^
\|* \|< е (т)			(28)
^ L (t, x(t),	Ц1) +	у) + - ^ ± - ^	(28)

Смотрите также файлы

Картирование шельфов сборник статей..pdf

Квитко, М. П. Кислородно-конвертерный процесс.pdf

КМА набирает высоту сборник статей, очерков об освоении Курской магнитной аномалии..pdf

Коган, З. А. Консервация и упаковка машиностроительной продукции.pdf

Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно