Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

400

 

 

 

 

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

 

 

 

при

всех

у е

Rrt, |у |^/п.

Это можно сделать из-за

ограниченности x(t) и непрерывности L.

Пусть

6 =

6 (т)

выбрано

так,

чтобы 6т ^ е.(т ). Разобъем отрезок [t0, /|]

точками

 

т0=

/0 < х 1<

. . . < T k = tl на части

длины,

меньшей 6.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 т (t,

У) =

|

L(t,

x(t),

x{t) +

y),

|у K m ,

 

 

 

 

{

 

 

 

 

\y\ > m ,

 

 

и рассмотрим конволюционный интеграл

 

 

 

 

 

hi(y) = \

£

(g„)(^|(y),

i =

 

 

 

 

 

Из

непрерывности

L

следует,

что

dom/i( =

= В(0,

т ( т , — т,_1)) = {г/||г/|< т(тг — т,-_,)}, и,

значит,

0 е

int (dom hi).

Из

теоремы

2 §

8.3

получается,

что

 

 

 

А, (0) = !гГ (0)

У ы г л | ( 0 ).

 

 

 

Отсюда можно извлечь существование на каждом из отрезков [т,-!, х,] такой вектор-функции ut{t), что

xi

| щ (0 dt = 0, V -1

Jт( gm(t, Ui(t))dt^

xi- 1

 

Jxi

 

 

 

< М О) +

Ж <

Sm

0) dt +

(29)

Положим ym{t) = U[(t),

 

xi-1

 

 

 

если

x[- l ^ !t <

xh xm(t) =

x(t)~f-

+ Jt Ут(x) dx. Ясно, что xm (tt) — x{t^. Из определения gm

и

 

 

почти всюду и, значит, почти

следует, что \Ui(t)\^m

везде

|г/т (/) |<; т ,

т. е-

хт( ■)^W Z,, ь Далее, при вся­

ком t

справедливо

неравенство |х (t)— xm(t)\^.6т < е.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫИ ИНТЕГРАЛ

4 01

Следовательно,

хт(•) -* х (•)

равномерно.

Наконец,

в силу (28) и (29) получаем:

 

 

ц

 

 

 

3 ^ ( * « ( • ) ) < /

L(t, x(t), x(t) +

ym(t))dt + ± ^

 

и

 

< J gm(t,

0) d t + ± .

 

 

Из определения функций gm следует, что при т - > оо

gmit, у) \L(t, х (t), i(t) + y).

Отсюда нетрудно вывести, что

gm (t, У) i L” (t, x (/), x (t) + у).

Поэтому по теореме Б. Леви

J

gm(t, 0) dt \,SfL» (■))сл .

и

 

 

Сопоставив эту

формулу с

(29), приходим к выводу,

что для последовательности

{*„,(•)} справедливо соот­

ношение (27). Теорема доказана.

§9.3. Конволюционный интеграл и линейные задачи

9.3.1.Постановка и обсуждение задачи. Теорема двой­ ственности. Здесь будут рассматриваться задачи следую­

щего вида:

 

б

(1)

У ( х ( - ) ) =

\ f(t, m )d t\

 

и

(2)

x{tQ) — 0,

x{t[) = x.

Обозначим через S(x) значение задачи (1), (2); S есть функция от переменного х, стоящего в правой части ограничения (2). Она является конволюционным инте­

гралом:

и

S = % f,d t .

402

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Для задач (1), (2) можно построить гораздо более со-* вершенную теорию существования решения, практически смыкающуюся с теорией необходимых и достаточных условий. Покажем, что всякая линейная по фазовым координатам задача оптимального управления приво­ дится к виду (1), (2). В самом деле, рассмотрим за­ дачу оптимального управления системой, линейной по фазовым координатам:

К( у ( - ) , « ( • ) ) = \[(a(t)\y) +

g(t, u)]dt->inU

(3)

У = А (0 У +

ь (it, и),

U€=U,

(4)

У(*о) = Уо,

y(ti) =

yu

(5)

где, как обычно, Л( - ) : [f0, tl] - ^ S ’ (R", R"), b: [t0, f,]X

X R m- > r , g: [ ^ , ] X R m- >R и й ( О е 1 ? ( [ < о , М ) .

Пусть

R (t, т) — резольвента

однородного

уравнения

у = А (0 у. Положим для краткости

 

 

 

q (t) =

| R (т,

t) а (т) dr,

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

a(t) =

(a(t)\R(t, t0)y 0).

 

Пусть,

далее,

x =

y l — R(tl, tQ) y0,

 

 

 

 

h (t, v) — a (t) -b

 

 

 

 

 

+ inf {(<7(01 b(t,

u)) + g(t,

u)\u(=U, R(tu t)b{t, «) = »].

Рассмотрим

задачу

 

 

 

 

 

Уh.(x (*))

= t,

hJ(t,

x (t)) dt -> inf;

(6)

 

 

 

X(to) — o,

(7)

 

 

 

 

 

 

X (ti) — X.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ

403

П р е д л о ж е н и е

1. Пусть ( у ( - ) ,

« ( • ) ) — допусти­

мый управляемый

процесс в задаче

(3 )— (5).

Тогда

вектор-функция

 

 

 

x(t) = R(th t ) ( y ( t ) - R ( t , t0) у0)

допустима в задаче (6), (7) и Tfh (х (•)) ^ К (у (•), и (•)). Наоборот, для всякого допустимого элемента х ( - )

задачи (6), (7), для которого Пh (х ( •)) < о°, и всякого е > 0 найдется допустимый в (3) — (5) управляемый про­ цесс ( у( - ), и (■)) такой, что у ( - ) и х ( •) связаны пре­ дыдущим соотношением и

К{у{-), * ( - ) ) < ^ А(*(-)) + е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (у (■),

и( ■)) — допусти­

мый управляемый процесс в задаче

(3) — (5)

и х ( - )

определено, как в формулировке предложения

1. Тогда

х (to) — R(ti, to) (у (t0) —уо) =

о,

X (ti) = У\—R (t1,

to) Уо=

 

Далее (см. теорему 2 из § 0.4),

 

 

y(t) = R (t, t0)Уо +

Jt R (t,

r) b (x,

u(t)) dr,

 

h

 

 

t. e. в силу предложения

1 из § 0.4

 

t

 

 

 

x(t) = R (tu t) J R (t, t) b (т,

u (t)) dx =

 

^0

 

 

 

= Jt R(tu x)b (t, u (t)) dx,

Смотрите также файлы