Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

404

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

т. е.

x(t) = R (tu t)b(t, и (t)).

Поэтому, согласно определению функции h,

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

К ( у ( - ) ,

ы (•)) = J

(а (/) |R (t,

t0) yQ-f-

 

 

+

J

R (t, t) b (t,

u (t)) dx) +

g (t, и (/))

dt =

 

 

/о

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- J

(a (/)| R(t,

Q y 0) +

 

 

 

(J R (T,

 

^0

dx I b (t, и (t))j +

 

 

 

+

t) a (t)

g (t,

и (t))

dt =

=

J

[ « (t) +

(Я( 0 1 b(t, и (t)) +

g(t,

и (0 ))] dt >

 

 

Jo

>

U

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JA (t,

R (th t) b {t,

и (t))) dt = j h ( t,

X (0) dt.

Первая часть предложения доказана.

Далее, если t7h(x( ■)) < оо, то по определению функ­ ции h для каждого t множество

Ve( f ) = { Me= U\R(tu t)b(t, и) = х (/),

 

 

 

 

(q (t) |b (t,

u)) + g (t,

u) <

h (t, x (/)) +

e}

непусто. Согласно

второму

следствию

теоремы

3

из

§ 8.1, многозначное

отображение t - + V e(t) нормально.

Пусть не(0 измеримое сечение этого

отображения.

Тог­

да, если

 

 

 

 

 

 

y(t) =

R (t, ti) x{t)-\- R (t,

t0) y0,

 

 

то, очевидно, пара (y( ■), нЕ( •)) есть допустимый управ­ ляемый процесс в задаче (3) — (5). При этом

К( У( - ), ut ( - ) ) < t3fh(x( - )) + B(tl - t 0).

Поскольку е произвольно, предложение доказано.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫй ИНТЕГРАЛ

405

В дальнейшем мы рассматриваем только задачи вида (1), (2). Все результаты без труда переносятся на за­ дачи вида (3)— (5).

Пусть, как обычно,

ГУ, р) = П(р ) = (ГУ, •))(/>).

Тогда в силу теоремы 2 из § 8.3

S — выпуклая функция и

Отсюда следует, в частности, что если х е ri (dom S), то

Последнее утверждение есть не что иное, как тео­ рема двойственности для задачи ( 1 ), (2 ). Оказывается, что существование решения и его характер зависят от взаимного расположения множества dom S* и точки р0,

доставляющей максимум в (8).

Сначала

рассмотрим слу­

9.3.2.

Регулярный случай.

чай, когда ро е int(dom S*). В

этом случае решениями

задачи будут обычные экстремали Эйлера и только они.

Т е о р е м а

1.

Пусть / — нормальный

интегрант

на

Ро, ^i] X Rn. Предположим,

что максимум

в

(8)

дости­

гается в точке ро. Тогда вектор-функция

х*(/) в

том и

только том случае будет решением задачи

( 1 ),

(2 ),

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t,

х, (0 ) +

Г У, Ро) =

(РоI х, (0) почти везде.

 

(9)

Если же

ро е

int(dom S*),

то в задаче существует

ре­

шение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

406

ГЛ.

9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если **(•)>

кроме

условия

(9), удовлетворяет еще и равенствам

(2),

то

 

^ (* .(■ ))=

J / V,

К (*)) d t = \ [(р0|k,

(t)) -

r (t,

Po)] dt =

 

 

= (PcU) — J f

(t,

Po) dt = s (x),

 

 

n

 

 

 

т. е. **(•) — решение задачи. Наоборот,

если **(•) — ре­

шение задачи, то,

с одной стороны,

 

 

 

 

а, с другой, по неравенству Юнга — Фенхеля

/ (*, К (0) > (Pol *. (0) — f (t, po)

почти всюду, откуда и следует (9). Первая часть тео­ ремы доказана.

Осталось доказать существование вектор-функции *»(•), удовлетворяющей равенствам (2) и условию (9), или эквивалентному ему соотношению

xt (t) e df* (t, po) почти везде.

(Ю)

Допустим сначала, что f — нормальный выпуклый интегрант. В силу (8) p o ^ d S (x ), т. е.

Поскольку

по теореме 4

из § 8.3

§ 9.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫИ

ИНТЕГРАЛ

407

f. е. существует

вектор-функция

yt (t)

такая,

что

У* (0 ^ df* (t, р0) почти всюду,

 

 

Jи У, (0 dt == х.

 

 

Полагая х„ (t) =

Jt г/, (т) dr, получаем

требуемое.

to

Для доказательства теоремы в общем случае, т. е. без предположения о выпуклости интегранта /, нам по­

надобится следующее утверждение.

 

 

Л е м м а

1. Пусть ф —

замкнутая собственная функ­

ция на Rn. Предположим,

что р0е

тД ё о т ф * ).

Тогда

<V (Ро) = conv {х е= Rn|ф (л:) +

ф* (р0) = (р01х)}.

Допустим, что лемма уже доказана, и рассмотрим

такую задачу:

<i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J Г У ,

 

(0 ) —> inf;

(И)

 

 

х (to) — 0,

x(tl) =

x.

(12)

Пусть Si (х) — значение

этой задачи. Тогда по

теореме

Фенхеля — Моро

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- )dt=s\

 

 

si=Jr(t,

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

Так как Г — нормальный

выпуклый интегрант (предло­

жение 2 из

§ 8.1), в задаче ( 1 1 ),

(12) по доказанному

выше существует

решение x(t), т. е.

 

 

 

х (t0) =

0,

х (f,) =

х,

 

 

/

Г У ,

х (t)) dt — Si (х).

 

to

Поскольку ро е int^dom J f* (t, •)dt),

из предложения 4

из § 8.3 следует, что р0е int (dom f {t,

•)) почти всюду.

408

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

По лемме

1 на множестве полной

меры

 

дГ (t, Ро) = cony [у <= R" \f{t,

у) +

f* (t,

Ро) = (р0 1у)}.

Многозначное отображение

 

 

 

t - > V ( t ) = [ y < = R n \f(t,

y) + r(t,

р0) = (р0\у)} =

 

=

{ y ^ R n \f(t,

у) + f

(/, Ро)<(Ро\у)}

нормально (следствие 2 теоремы 3 из § 8.1). В силу

предложения 4 из § 8.3 для

некоторого е >

0

функция

 

г (0 =

sup {f* if,

Ро + р)\Р е= R", |Р К

е}

 

 

 

суммируема.

Поэтому для

всяких

(t, у) е

gr V,

p e R

’ ,

\р К

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Р\У)< Г V, Ро +

Р ) ~

(Ро Iy) +

f {t,

У) =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Г (/, Р о +

Р )

+ Г (*. Ро) < г (0

+

Г (*. Ро)-

 

 

 

I p K e - ' ^ W + r ^ , Ро))-

 

 

 

 

 

Мы

можем

применить

к

отображению

V

теорему

1

§ 8.2 , из которой следует равенство

 

 

 

 

 

 

(,

 

 

и

 

 

 

 

<1

 

 

 

 

 

 

j

V (/) dt = j

conv V (0 cW=

J 5/* (/,

p0) dt.

 

 

 

to

 

 

t0

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

Поэтому существует

такое

измеримое сечение г/, (/)

ото­

бражения

V,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ti

 

 

ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| y t (t) d t =

J x (t) dt — x.

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

tо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

если

xt (t) — J yt (x)dx,

to

x(t0) — 0,

 

 

=

x

и

to

f {t, Xt (/)) + f’ (t, Ро) = (Ро I■*. (0 ) почти везде, т. e. лс, (• )—

решение задачи. Теорема доказана.

До к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1 . Заменяя, если нужно,

Ф(лс) функцией ф(х) — (р0 \х) + ф* (р0), мы можем считать,

что р0 — 0 и ф* (0) = 0. Тогда ф (лс)^ф** (х )^ 0 и ф” (лс)— 0,

если

х е

йф* (0). Коль

скоро

р0= 0 е

int (dom ф*),

функ­

ция

ф*

непрерывна в

нуле

(теорема

3 из § 3.5),

т. е.

Смотрите также файлы