Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫП

ИНТЕГРАЛ

409

для некоторых е > 0, б >

0 неравенство ф* (р) ^

6 выпол­

няется, лишь только | р К + . Пусть

 

| 6,

если

|р К е,

 

^1 оо, если |р |> е.

Тогда ф *(р )< /(р )

и

 

Ф {х) ^

ф** {х)~^ I* (х) = z \х \— б.

(13)

Пусть теперь х е

дф* (0) с: dom ф**. Тогда в силу

пред­

ложения 2 из § 3.5 для всякого натурального т найдутся

векторы Х\т , . . . . хп+ит и числа а1т > 0 ,

а „ +|, т > 0

такие,

что

 

 

 

П + 1

п + 1

п +1

 

 

 

V ОIm^irn %

Я/тф (Xim) ^

(14)

 

i=l

г=1

 

 

Мы можем выбрать последовательность {ms} натураль­

ных чисел

таким образом,

чтобы

для всякого

номера

i = l ,

. . . ,

п +

1

либо

Xim

сходились к некоторому xit

либо

\x{ms \-+ оо.

Если

|xlnis |- > оо,

то из неравенства

 

 

 

 

 

 

 

j Xtms |^5 1/W-s +

6&ims9

 

сразу

вытекающего из (13), (14), следует, что

 

и,

значит,

 

 

 

 

aims -* 0

 

 

 

(15)

 

 

 

aims |xims I -> 0.

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее

 

соотношение

означает, в частности, что

|^ims |—> 00

 

не

для всех

номеров г. Без ограничения

общности

можно

считать,

что

xtms

сходятся к xt при

1 <

г <

/г

и

1-K/mJ- * 00

при & + 1 < г < п + 1 .

Тогда

из

(15),

(16)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х == Пт

п + 1

а{т хш =

к

щхи

 

 

 

 

 

 

2

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

S->oo i=I

 

4

5

f=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п+1

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =

Пт

21 Щт =

21 Щ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s-я»

г=1

 

4

i =i

 

 

 

410 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

и из-за

полунепрерывное™ функции ф снизу

 

 

П + 1

 

 

 

 

 

 

0 = Пт 2 а/т ф (^т ) >

 

 

 

 

5-^.оо г= 1 s

4

^

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

к

 

 

 

 

> Пт 2 а,т ф (х1т) > 2 а.ф (М) > 0,

 

k

 

S-> ОО i = 1

S 4

S J

1= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

t . e.

^ ct/ф ( X

j ) =

0 = ф” (л:).

Последнее

соотношение

может иметь место лишь в том случае, когда

ф(хг) = 0

при i = l ,

k,

т. е. когда

ф(хг) +

ф* (0) = 0

(так как

Ф неотрицательна). Таким образом, х есть выпуклая комбинация точек х и .... xk таких, что ф(х*) + Ф * (Ро) = = {p0\xi). Лемма доказана.

Теорема 1 носит «апостериорный» характер: для ее применения требуется сначала вычислить значение за­ дачи, используя формулу (8). Однако с ее помощью можно получать и «априорные» теоремы, подобные тем,

которые доказывались в § 9.2.

 

Т е о р е м а 2.

Пусть f — нормальный интегрант на

[/0, M X R", удовлетворяющий условию роста.

Тогда, если

значение задачи

( 1 ), (2 ) конечно, то у нее

существует

решение.

Мы хотим обратить внимание чита­

З а м е ч а н и е .

теля на то обстоятельство, что в этой теореме, сходной

с теоремой 1 из § 9.2, не требуется выпуклости иитег-

ранта f(t, у) по у.

По условию эффективное

Д о к а з а т е л ь с т в о .

множество функции S* (р) =

J /* (t, p)dt совпадает с Rn.

Поэтому, если максимум в (8) достигается, то он до­ стигается во внутренней точке множества domS*, и тео­ рема 2 следует из теоремы 1.

Предположим теперь, что максимум в (8) не дости­ гается. По условию существуют вектор-функции x(t), удовлетворяющие условию (2 ), на которых интеграл ( 1 ) конечен. Если множество таких вектор-функций конеч­ но, то все очевидно. В противном случае в задаче суще­ ствует минимизирующая последовательность, т. е. по­ следовательность таких вектор-функций xm(t), что

*/п(*о) = 0, х М = х, Ш п З '( * „ ( • ) ) = $ ( * ) . (17)

§

0.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫИ ИНТЕГРАЛ

41!

Пусть

 

 

 

V (t) =

[у е

R " \ 3 т = 1 , 2 , . . . : y = xm(t)}\

 

 

 

} •••

 

Тогда fi — очевидно, нормальный интегрант. Рассмотрим задачу ( 1), (2 ), но с функцией fi вместо f в подынтег­ ральном выражении в (1). Пусть S i — значение этой за­ дачи (как функция правой части ограничения (2)). Оче­

видно,

Si ^

S

и

S i (a) =

 

S(x).

Покажем,

 

что

х е

<= ri (dom Si).

 

 

 

 

т. e. (p\x — z ) ^ 0

для

всех

Пусть /? е

jV(x |dom Si),

z e d o m S i . Тогда

в

силу

второго

равенства

 

в (17) из

предложения

2

 

§

8.3

следует,

что

при

каждом

пг— 1, 2 , . . .

неравенство_

(p\xm{t) — у ) ^ 0

выпол­

няется

для

всякого

у е

V(t) П dom /(/,

•)

почти

при

всех t,

т. е., в частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Р I хт(0) =

(р I хк (0)

 

 

 

 

почти везде

при

любых

т,

k = \ ,

2, ...

Отсюда

сразу

следует, что

(р\х) — (р\г)

для всякого z e d o m S i и вся­

кого р ez N (х\ dom S |).

Это

может быть лишь в том

случае,

если

х е

ri(dom Si).

Поэтому максимум в фор­

муле (8), в которой вместо f

стоит

достигается, и сле­

довательно, существует вектор-функция x*(t)

такая, что

Теорема доказана.

9.3.3.Общий случай. Если максимум в (8) дости­

гается

в

граничной точке множества dom S*, то задача

( 1 ) ,

(2 )

может и не иметь абсолютно непрерывных ре­

шений, а минимизирующие последовательности могут сходиться к разрывным функциям. Однако, в этом слу­ чае можно построить эквивалентную «расширенную» задачу, где допустимыми элементами могут быть и раз­ рывные функции. Допустимые элементы расширенной задачи можно рассматривать, как предельные точки по­ следовательностей допустимых элементов задачи ( 1 ),

(2) . Оставшаяся часть параграфа посвящена построению

412 ГЛ. 9. СУЩ ЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

расширенной задачи и доказательству для нее необхо­ димых и достаточных условий экстремума.

Будем рассматривать на отрезке [/о, Б] кусочно-не­ прерывные функции x(t). Всякую такую вектор-функ­ цию будем для определенности считать непрерывной справа во всякой точке разрыва, отличной от точки to, и непрерывной слева в точке t0. Другими словами, та­ кие вектор-функции можно представлять в виде

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

x(t) = z(t) +

2 и>,-0 (*, т,-),

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

где z(t) непрерывна,

и

 

 

 

[

1 ,

если

> t 0 или

t , ^ t >

х = tn,

’

\

О,

если

или

т= Д 0=

Б

Вектор-функцию такого вида мы назовем кусочно абсо­ лютно непрерывной, если z(t) абсолютно непрерывна. Множество кусочно абсолютно непрерывных вектор-

функций со

значениями в Rn, имеющих не более

п +

1

точек разрыва,

будем обозначать через Ж п.

 

 

Вернемся

к

задаче (1), (2).

Пусть

А — измеримое

подмножество отрезка [t0, t\], Положим

J y{t)dt =

 

j.

Ад (.*) = inf

J / (*, У (0) dt

</ ( •) е

L" (А),

x

Тогда

 

 

J f'(t,

 

 

 

 

 

 

Sl(p) =

p) dt,

 

 

 

если только

S x — собственная

функция. Очевидно,

 

dom SI, cr dom S\„

если Д2 с:Д ,.

(18)

Пусть т e [f0, й]. Обозначим через Px объединение мно­ жеств dom Sx, взятое по всем окрестностям А точки х. Ясно, что множество Рх выпукло. Это сразу следует из (18) и выпуклости всех S\. Наконец, для каждой ку­ сочно абсолютно непрерывной вектор-функции положим

и

k

 

М ( * ( • ) ) = / f(t, г (/)) dt +

J ] s (о>| |Рх.)

(19)

t» i=i

Смотрите также файлы