§ |
9.3. |
КОНВОЛЮЦИОННЫП |
ИНТЕГРАЛ |
413 |
(где s(-\P), |
как |
обычно, — опорная функция |
множе |
ства Р) н рассмотрим задачу |
|
|
|
|
М (х( •)) -> inf; |
|
(20) |
х [ - ) ^ Ж п, х (t0) = 0, |
* (/,)= * . |
(2 1 ) |
Очевидно, если 2 (•)— допустимый элемент задачи (1), (2), то функция х ( - ) = 2 ( - ) допустима в задаче (20), (2 1 ) и
&(z (•)) = М (х (•)).
Те о р е м а 3. Пусть S — собственная функция. Тогда, если х { - ) ^ Ж Г1 и x(t0) = 0, то найдется такая после
довательность хт(•) |
абсолютно непрерывных функ |
ций, что |
= 0, Х т (/)->X (0 |
х ,п ( Q |
при всех t е= [t0, /,] и Urn & (хт (• ) ) < М (х (•)). Если же,
т-> оо
кроме того, x(/‘1) e r i (domS), то последовательность (хт (-)}
можно выбрать так, чтобы х (fj) = |
х,п (^) при т |
= 1 , |
2 , |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если |
М (х ( •)) = оо |
или |
х ( - ) |
абсолютно непрерывна, то доказывать нечего. Поэтому
в дальнейшем |
предполагается, |
что М ( х ( - ) ) < о о и |
|> |
0. |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
пусть |
х (t) = |
г (t) |
-f 2j wfi (t, |
xj), |
где z (t) абсо |
лютно непрерывна |
и |
|
, < . . . |
|
Для вся |
кого е > 0 положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
(т, — е, |
Tj], |
если |
т, > |
t0, |
|
А'е ~ |
I |
[to, |
t0 + |
е), |
если |
т, = |
t0, |
|
А/е = |
(тг — е, Т;], |
i = |
2.........k, |
|
|
vte= |
J z(t)dt, |
|
1 = 1 , |
. . . . k. |
Докажем, что |
^ i e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S " |
(w( + |
vie) = |
s(Wi [Pi ). |
(22) |
L § S.3. |
КОНВОЛЮЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
415 |
ряющей соотношениям |
|
|
|
|
|
J Viz (О dt = хи, |
|
|
|
11г |
|
|
|
(24) |
|
|
|
|
|
J f (О |
Уit (0) dt < |
S ’4 |
(а », + |
vu) + 6 . |
Че |
|
|
|
|
|
Поскольку все |
точки Tj, |
. . . , т* различны, |
при доста |
точно малом е интервалы Aic, |
. . . , Д^е попарно не пере |
секаются. Положим |
|
|
|
|
i ( 0 , |
если |
|
k |
|
|
t< £ \ jA i,u m, |
|
х т (0 |
|
|
i= i |
|
|
. Vi, i/m (0 , если |
t £= Д^ |
г = |
1 s . . . , k. |
Последовательность {*£;(•)} — искомая. Действительно,
5Ч*«(*))= ЗЧг(-))+
А |
J |
5»ч<" |
+ S |
< = 1 |
д г, l/m |
|
и согласно (20), (22) и |
(24) |
|
^ « ( • Я - Л ! (*(•)) = ft
= S |
I [W |
* ( / ) ) ] # - |
i = l |
A /, l/m |
|
- 2 s (“" 1*4)< 2 (s^. i/« |
»/«)-s (Ш{>po + 6)~ |
i=l |
<=1 |
|
|
|
ft |
|
|
|
— ^ |
J f (t, z(t)) dt—> kb при m -> oo, |
|
i = l |
д /, l/m |
|
t. e. |
lim lim S'(*® |
( •)) ^ |
M( x( •)). Далее, для всякого |
6->Q m ->o o |
через |
г (0 такой номер /, что |
f =7^= /0 |
обозначим |
416 |
ГЛ. 9. |
СУЩ ЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ |
Т; < / < тг+1. |
Тогда |
|
|
|
|
<(О |
|
*6т (0 = |
*(*) + |
V |
J {yt, lin( t ) - z ( t ) ) d t |
i=l Ai, Urn
MO = 2 (0 + V ( x .
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
или в силу |
(23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| X m ( 0 — |
X (t) | < |
k b , |
|
|
|
|
|
t. e. |
lim |
lim x6 {t) = x(t) |
при |
всех |
t. |
Первая |
часть |
|
в - » 0 m - » o o m |
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремы доказана. |
что |
x{t\) е |
ri (dom S ). |
Коль |
Предположим теперь, |
скоро |
S — выпуклая собственная |
функция, |
она |
непре |
рывна относительно aff(domS) |
в точке x(t\) |
(теорема 3 |
из § 3.5). Поэтому найдутся числа 6о > |
0 и с такие, |
что |
для любого |
z e a f f ( d o m S ) |
такого, |
что |
|
\х — x{tCj \ |
бо, |
существует абсолютно непрерывная функция z( - ), удов
летворяющая |
условиям |
|
|
*1 |
|
z(/0) = |
0, Z (/,) = £, | f(t, z{t)) dt |
< О О . (25) |
|
fo |
|
Пусть {х®(1( •)] — последовательность, построенная выше. При достаточно больших номерах т и малых б будет выполняться соотношение |хт&(/,)— х(/,) |= ат^^о-Пусть zm(• ) удовлетворяет (25) и при этом
2 = 2т (/,) = х (/,) + |
(б0/ат) (х (f,) - x l (1f,))• |
Тогда |
|
|
|
|
X { t {): |
-32— Xе ftЛ + |
. Г — |
zm (t |
|
, + ат |
1) ' |
6j + ат |
ту |
Поэтому в силу теоремы 1 из § 8.2 для всякого доста точно большого т существует такая вектор-функция
§ 9.3. |
КОНВОЛЮЦИОННЫИ |
ИНТЕГРАЛ |
417 |
X6m(t), что Х®,(*0) = |
0, |
= * (< ,) |
И |
|
<1 |
|
<1 |
|
|
|
+ |
0(71 |
|
f(f, |
4 * ( « ) Л < |
|
|
|
бо + «т |
|
|
|
|
|
6. |
t, |
|
с&т |
|
|
< |
| f(‘ . * i(9 ) |
dt |
|
|
бо + |
От |
Ь0+ Чт ’ |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
lim & {xL (•)) ^ lim |
lim & {хьт(•)) |
М (х (•)). |
6 - > 0 |
!П->00 |
|
6 - + 0 |
т-> оо |
|
|
Теорема доказана.
9.3.4.Описание решений и теорема существования.
Т е о р е м а |
4. |
Пусть |
Jceri(d om S ) |
и |
максимум в |
формуле (8) |
достигается в точке р0. |
Тогда, |
если кусочно |
абсолютно непрерывная вектор-функция |
|
|
|
|
|
|
|
z (t) + |
k |
wfi (t, |
т ,)«= УГ |
|
|
|
|
|
x(t) = |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
< = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
есть решение задачи |
(20), |
(21), |
то |
|
|
|
|
|
|
f V, г (t)) + f |
(t, |
р0) = |
(Po \z (t)) |
почти |
всюду, |
(26) |
|
|
и>,с=ЛГ(/>о|Ят<), |
* = 1 .........k. |
|
|
(27) |
Наоборот, |
если х(- ) |
удовлетворяет условиям |
(21), |
(26), |
'(27) при |
некотором р0, |
то |
х ( - ) |
— решение задачи |
(20), (21). |
|
|
|
|
Значение |
задачи |
(20), |
(21) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
равно S(x) |
(это следует из теоремы |
1). Если *(• )— ре^ |
шение задачи, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
AJ (х ( •)) = |
J / (t, z(t))dt + |
\ i s(w i \PXi) = |
S(x) = |
|
|
to |
|
/, |
i~ 1 |
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (Po |x) — s ' (Po) = |
J [(Po 12 (0)— f |
(/. Po)] dt + |
У (p0\Wi). |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
(28) |
14 А. Д. Иоффе, В. M. Тихомиров
