Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
418ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИИ
Сдругой стороны, по неравенству Юнга — Фенхеля
|
|
f(t, |
i ( t ) ) > ( P o \ z ( t ) ) - f ( t , ро) |
|
|
(29) |
|||
|
|
|
s(w i \ P x .)X p 0\wi), |
|
|
|
(30) |
||
так как р0е |
dom 5* с= Рх.. |
Сравнивая |
(28), |
(29) |
и |
||||
(30), |
получаем |
(26) |
и (27). |
Наоборот, |
из |
(21), (26) |
|||
и (27) |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M( x ( - )) = |
(p0\ x ) - S , (Po)<S(x), |
|
|
|
||||
т. е. |
*(•) — решение |
задачи |
(20), (21). |
Теорема |
до |
||||
казана. |
5. |
Пусть f — нормальный |
выпуклый |
ин- |
|||||
Т е о р е м а |
|||||||||
тегрант. Если |
int(domS*) Ф 0 и максимум |
в |
формуле |
||||||
(8)достигается, то в задаче (20), (21) существует ре
шение. |
в (8) до |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть максимум |
|
стигается в точке роТогда xe<9S*(po). По |
теореме 4 |
из § 8.3 найдутся суммируемая вектор-функция y(i), принимающая почти при всех t значения из df*(t,p0), и вектор w е jV(p0|dom S*) такие, что
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ у (t) dt + |
w = x. |
|
|
|
|
|
|
fa |
|
|
|
|
|
|
Мы |
докажем |
существование |
таких |
точек |
т,, |
. . . , т*, |
||
wt е |
< т2< |
.. . < |
%k<ti ( k < n + |
1), |
И |
векторов |
||
N (р01Рх |
что |
+ . . . |
+ Wk — w. |
Тогда |
вектор- |
|||
функция |
k |
t |
|
X(t) = J у (т) dx - f |
VJ wfi {t, тг) |
t0 |
;=i |
принадлежит Жп и в силу теоремы 4 является реше
нием задачи. |
0, |
все |
очевидно. Поэтому в дальнейшем |
|
Если |
w = |
|||
считаем |
w |
0. |
Пусть р е int (dom S'). Положим |
|
|
|
l (р) = |
р (р — р |dom 5* — р), |
|
|
l(t, p) = |
p{p — p\Pt — p). |
||
420 |
|
|
|
ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ |
|
|
|
|
||||||||
Отсюда |
следует, |
что |
/ (р) ^ |
Х0^ max I (t, |
р) + е, |
т. е. |
||||||||||
1(р) ^ |
rnax I (t, р) |
|
|
|
|
|
|
t |
е. |
С другой |
сто |
|||||
из-за произвольности |
||||||||||||||||
роны, |
l(p)^zl(t,p) |
для всякого i, поскольку dom .S*c:/V |
||||||||||||||
Итак, формула (31) тоже доказана. |
|
|
|
w ф 0. |
|
По |
||||||||||
|
Очевидно, |
ро ф int(dom S*), |
поскольку |
|
||||||||||||
этому 1(ро) > |
0. В силу предложения 2 из § 4.3 найдутся |
|||||||||||||||
к > |
0 |
и |
w^dl( po ) |
такие, |
что |
kw = |
w. С |
другой |
|
сто |
||||||
роны, в силу (31) |
и теоремы 4 |
из § 4.2 существуют точ |
||||||||||||||
ки Ть ... , т^, векторы |
Ш], |
... , |
Wk |
и |
числа си ^ |
0, ... |
||||||||||
... , ал ^ |
0 (к ^ |
п -j- 1) |
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
I (т<> Ро) = |
I (Ро). |
a i + |
••• + |
а* — |
1. |
|
|
||||||
|
|
|
<= д/(т;, ро), |
ш = |
а ,^ ,+ |
. . . + а kwk. |
|
|
||||||||
Положим |
w^— XaiWi. |
Коль |
скоро |
I (тг, |
р0) > 0, |
снова |
||||||||||
в |
силу |
предложения |
2 из |
§ |
4.3 |
wt е |
N (р01PTJ. |
Но |
||||||||
в этом случае w = W\-{- . . . + wk. Теорема доказана.
Комментарий к гл. 8 и 9. Подробные изложения теории измери мых многозначных отображений можно найти у Ауманна [2], Аркипа и Левина [1], Валадье [3], [4], Кастепа [1]. Из более ранних работ
укажем статьи Куратовского и Рылль-Нарджевского [1] |
и |
Рох |
лина [1]. По поводу теоремы Ляпунова (Ляпунов А. А. [1]) |
и |
инте |
гралов от многозначных отображений см. Ауманн [1], Блэкуэлл [1], Валадье [3], Дебре [1], Кастен [2] и др. Приведенное здесь доказа тельство принадлежит Лннденштрауссу [1]. Обобщения теоремы Ляпунова можно найти у Аркина и Левина [1], Олеха [2], Романов ского и Судакова [1], Халкнна [1], [2]. Выпуклые интегральные функ ционалы рассматриваются в обзорах Иоффе и Левина [1], Иоффе и Тихомирова [3], Рокафеллара [12].
Литература по теории существования решений огромна. У ее истоков стоят работы Тонелли [1], Макшейпа [1]—[3], [6], Нагумо [1], Филиппова [1], Чезари [1], [21. Дальнейшие результаты можно найти у Берковица [1], [2], Олеха [3], Рокафеллара [13], Синквипи [1]—[3], во многих работах Чезари и др. По поводу многомерных задач см. Лионе [1], Морри [1]. С проблематикой теоремы Боголюбова (Бого любов [1]) связаны многие исследования скользящих режимов, ре лаксаций и расширений: Варга [1], [2], Гамкрелидзе [4], Иоффе и Тихомиров [2], Янг [1]; подробности см. в монографии Варги [4] и Экланда и Темама [1]. Для дальнейшего ознакомления с линейными и выпуклыми задачами мы отсылаем к работам Красовского [1], [3], Понтрягина, Болтянского, Гамкрелидзе и Мищенко [1], Рокафел лара [8], [9], Халкипа [3], [4] и др.
Г л а в а 10
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
§ 10.1. Задачи геометрической оптики
На примере задач геометрической оптики легко про следить те геометрические и физические идеи, которые лежат в основании формализма Гамильтона — Якоби — Веллмана в вариационном исчислении и теории опти мального управления, а также метода возмущений в теории экстремальных задач. Это связано прежде всего с тем, что математическая формулировка задач геомет рической оптики необычайно проста и не заслоняет их физической природы. Поэтому каждый результат допу скает физическое истолкование и, наоборот, из есте ственных физических соображений легко угадывается форма необходимых математических теорем. С другой стороны, многие интересные задачи можно интерпрети ровать как задачи геометрической оптики, — таковы, на пример, задачи оптимального быстродействия для авто номных объектов.
Большая часть рассуждений в начале параграфа не
претендует |
на строгость. Их цель — показать, как, от |
|||
талкиваясь от простых и интуитивно ясных соображе |
||||
ний, можно прийти к содержательным математическим |
||||
результатам. |
Ферма. Пусть имеются прозрачная |
|||
10.1.1. |
Принцип |
|||
неоднородная и, для простоты, изотропная среда и |
||||
источник света, расположенный в точке |
x0 = (x,J, х |
xj). |
||
Обозначим |
через v(x) |
скорость распространения |
света |
|
в точке х = |
(х1, х2, х3). |
Спрашивается, |
по какому |
пути |
будет идти световой луч из точки х0 до точки х,? Отве чая на этот вопрос, Ферма выдвинул следующий вариа ционный принцип, который был первым принципом та кого рода для физической проблемы. Согласно прин ципу Ферма, свет избирает такую траекторию, чтобы