Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

ап — 5

■'l'n (*)dx'

(8.19)

- m

следующему из условия сохранения

числа атомов в кристалле

(7.71).

г = ^ 2 8п4 - ^ У п.

(8.20)

В результате получим:

п=о

п=0

Ап - S е„

(8.21)

Подставляя (8.21) в (8.17), перепишем последнее

в виде

L/2

ііі

2

I

А'*

00

пѴ

]'

Ф„ (^х) dx

-U2

(8.22)

п=0

71=0

Таким образом, вопрос о

типе

экстремума,

отвечающего функции

со (х\ с, Е), сводится к вопросу о знаке суммы в (8.22).

Интересно отметить,

воряющую операторному

уравнению

HG = 1,

(8.23)

где

Н — оператор (8.13),

6 — функция

Грина в операторном представле­

нии,

1 — единичный оператор, матричные элементы которого есть дельта­

всегда может быть представлено в

виде

,

,8.24,

71— 0

П

L /2

оо

I 5 % (х) dx I2

? = ^

dx'dx'G (ж, х') = 2

(8.25)

U= (4 ^)с= с0(х) = “ — “ (См — с°і)6 (Со (*) — с* )•

(8.26)

X™ = та, ж£> = та + А

(8.27)

Рис. 24. а) Периодическое

распределение концентрации, б) Зависимость

от координат эффективного «потенциала» U (ж) (8.26).

целое

число,

А — расстояние между двумя соседними точками,

в которых

с (ж) =

с*. Учитывая в (8.26) определения (8.27), можно, без потери общ­

ности,

представить потенциал (8.26) в виде:

д.Щ (с)

de*

)с=с0(*)

dcp (ж) \

О О

= а — а (cos — соі)

2

[б (ж — та) — 6 (ж — та — Л)].

dx

/Сд(х)=с*

(8.28)

На самом деле истинные пределы суммирования в (8.28) есть ^

Ыа, однако

могут

быть

заменены

пределами

+

оо.

Из

(8.3)

следует,

что

/йсо(ж)\

I de \

р

1

_г --------------------------------

i " * r - J c o(x)=С* =

І1^)с=с* = Т

=

Т

Vm-E-pc'+Af (С-)] .

(8.29)

Подставляя

в (8.29)

выражение

(7.23) при

«і =

а2 = а,

получим:

( ^

г ) Со(*)=с* =

K l“

^ ~

ЦС*+4"

а (с*-

е> (с* +

с' - 2®«)] •

(8.30)

Перепишем выражение

(8.28)

для

«потенциала» U:

ОО

U (ж) =

а — Ъ 2

[Ö (ж— та) — б (ж — та — А)],

(8.31)

Где Константа Ь в

соответствии с (8.30)

равна

Ь = а(сог — coi)

£ — Цс*+ - | - а

(с*— с)(с*+с — 2coi)j| . (8.32)

где

Я = Я 0 +

V,

(8.33)

,

<Р

(8.34)

Яо==—

+ “•

ОО

(У )**■ = - & 2 [б (X— та) — Ö(г — та — А)] б (ж — х')1.

(8.35)

т = —оо

нианом в модели Кронига — Пенни [47].

Умножая операторное уравнение

(Но'+ V) G =

1

(8.36)

для функции Грина G на невозмущенную функцию Грина G0, удовлетво-

ряющую равенству

GoH = 1,

(8.37)

получим:

G = Go — GoV G.

(8.38)

уравнение Дайсона

(8.38)

имеет вид

L/2

G (х, х') =

Go (X — х') —

^ dx" dxmGo (х — х") V ( х \

хт) G (хт, х').

(8.39)

- L / 2

Подставляя

в

(8.39)

выражение

для

«возмущения»

(8.35),

получим:

О О

G (а?, а;') = Со (ос— а:') +

Ь

^

(х — т а ) ^ (т а *х ) —

т

е — О О

ОО

— Ь

2

Со (х — та — А) С (та -}- Л, х').

(8.40)

т = —оо

Введем

следующие определения:

L/2

go =

\

Go(x) dx;

(8.41)

oo

-L/2

oo

got =

2

Go(ma),

got =

2

Go (та + A);

(8.42)

7TI=S—OO

—OO

L/2

oo

L/2

OO

■'*'

3

G (та, x'),

g i =

^

dx'

2

G (ma +

a:7).

(8.43)

—L/2

m=—1d o

—L/2

m*—OO

тывая определения (8.25),

(8.41)

— (8.43),

получим:

g =

Lgo +

bgoëi — bgoëf

(8.44)

Полагая' в уравнении Дайсона (8.40)

х =

па

и х = па + h, где п —

произвольное

целое число,

перепишем его

в виде:

ОО

G (па, х') = Go (па — х') + Ь

^

G° (ne — та) G (,иа- х') ~

тп——оо

ОО

— &

2

(ла ”

та — Л) G (та + Л, а;');

(8.45а)

т = —оо

оо

С (/!« + Л,

ж ') = Go (па +

h — x') +

b

^

G0(na +

h — та) G (та, x') —

т = —оо

00

— Ь

2

Go (па — та) G (та + h, x').

(8.456)

т = —оо

Произведем

интегрирование по х' и суммирование от— L/2a до + Ы2а

уравнений

(8.45а) и (8.456). При

этом получим два уравнения:

L

go + bgoigi — bgmgt, gi =

L

go + bgoigi — bgoigi,

(8.46)

gi = —

—

где g0, g0i,

go2i gi n Si

определены в (8.41)

— (8.43). Система уравнений (8.46)

имеет решения:

gi-

L

'

1 +

5

(goi — gm)

L

1 — b (goi — gm)

(8.47)

a

* - h i

/„2

_

„2

80

8г

a

^ L - b H g h - g l»

1 -

62 (*М -

gm)

Подставляя

(8.47)

в (8.44),

получим:

26*

goi — gm

g = Lgo 1 + —

8а i-b*(/ü-e3L

]

(8.48)

501

8<н)

Из определения

невозмущенной

функции

Грина

[ — Р Hfl

+ “ ] Go (ж — x') = 6 (х — x')

следует, что

оо

Go (к)

=

^

Go (х) е~,кх dx

= ^

^

а .

(8.49)

—ОО

Полагая

в (8.49)

к — 0,

получим:

go =

Go (0) =

1/а.

(8.50)

4 А. Г. Хачатурян

97