Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

â Модули упругости остаются постоянными; 3) все характер­ ные размеры элементов тонкой структуры существенно больше, чем толщина межфазных границ (приближение поверхностной энергии).

При анализе упругой энергии гетерофазной системы ее морфо­ логия и кристаллогеометрия фазового превращения учитывались линейным членом

—4(*)«Чі(г)

ввыражении (22.1). Значение тензора а?) (г) однозначно связыва­ лось со структурной деформацией

В рассматриваемом нами случае, когда гетерогенность структуры связана с концентрационными неоднородностями Ас (г) = с (г) — с,

структурная деформация еу(г) определяется законом Вегарда. Она равна

где uo = dblb de есть концентрационный коэффициент расшире­

ния кристаллической решетки. Выражение для тензора а°- (г), определяющего гетерогенность системы, в случае концентрацион­ ных неоднородностей может быть перецисано в форме

оо = 3Кт', К = (си + 2с12)/3 — модуль всестороннего сжатия. Сравнивая выражения (29.9) и (29.7), можно видеть, что для

случая V = 1 они идентичны с точностью до замены

Таким образом, все результаты теории внутренних напряже­ ний в гетерофазных системах, изложенные в § 22, остаются спра­ ведливыми и для теории внутренних напряжений в сплавах с кон­ центрационными неоднородностями. Последние могут быть полу­ чены из соответствующих выражений § 22 в результате замены (29.11). В частности, производя замену (29.11) в (22.28), получим выражение для энергии внутренних напряжений неоднородного

267

Рассмотрим более подробно выражение для энергии внутрен­ них напряжений (29.12). Будем рассматривать ситуацию, когда распад происходит внутри комплекса, имеющего форму прямо­ угольного параллелепипеда. Выражение (29.12) можно предста­ вить в виде двух слагаемых:

Так как, по определению, АЕ > 0, то из выражения (29.16) следует, что энергия Е 0 есть минимально возможное значение упругой энергии, которое может быть достигнуто лишь асимпто­ тически при АЕ -»- 0. Складывая упругую энергию (29.16) и хи­ мическую свободную энергию, получим:

268

f хіім (с) — удельная химическая свободная энергия. В выражении для химической свободной энергии опущены градиентные члены типа V2ß(Vc)2, так как в принятом нами приближении поверх­ ностного натяжения величины Ѵс равны нулю всюду, за исклю­ чением межфазных границ, толщина которых много меньше, чем все характерные размеры элементов субструктуры комплекса. Из выражения (29.18) для АЕ следует, что АЕ стремится к нулю, если величина |с"(к) |2 отлична от нуля в пределах стержней в об­ ратном пространстве, отношение толщины к длине которых стре­ мится к нулю, а направление параллельно единичным векторам

и= п0, удовлетворяющим уравнению

Цпэ) = minL(n).

Для тех кубических твердых растворов, для которых А = (сп —

—с12 —2с44)/с44 < 0 (они составляют большинство известных систем), ПоІКЮО >. Следовательно, минимальное значение энергии внутренних напряжений достигается тогда, когда функция \S (к)|2 отлична от нуля в пределах одного или нескольких стержней в обратном пространстве, имеющих направления, совпадающие с направлениями [100], [010] и [001]. Функция | б (к)|2 обладает та­ ким свойством, если в пределах комплекса функция с (г) имеет один из следующих трех видов:

дая из функций в правой части (29.22) — (29.24) описывает одно­ мерную модуляцию состава в одном из направлений куба. Если обозначить характерную длину модуляции через d, а характерный размер комплекса в направлениях, перпендикулярных к направ­ лению модуляции, через L, то толщина стержня в обратном про­ странстве, возникающего за счет этой модуляции, будет иметь порядок 1/L, а длина —порядок 1Id. Требование того, чтобы стер­ жень был достаточно узким и длинным (отношение толщины стер­ жня к длине мало), сводится к неравенству d/L<^ 1. Приняв его во внимание, можно утверждать, что минимум свободной энергии (29.19) с точностью до величин порядка dlL (порядок АЕ) совпа­ дает с минимумом свободной энергии F0.

Минимизация Fо при условии сохранения числа частиц в ком­ плексе производится обычным образом (см. § 5) и приводит к сле­ дующему результату: минимум F0 реализуется ів том случае, если система расслаивается на две фазы, составы которых cj и

с® отвечают точкам касания общей касательной к кривой / (с), определяемой выражением (29.21). Так как удельная свободная

269

энергия (29.21) включает в себя энергию внутренних напряжений,

то равновесные составы фаз cj и с® отвечают когерентной диа­ грамме. равновесия. Из закона сохранения числа атомов следует, что на первую фазу приходится доля распавшегося объема

Ѵі = — с)/(са — cj), на вторую фазу — доля (1 — ух) =

-(-с? + с)/(С? -с®).

Взаключение этого параграфа установим связь между рас­ пределениями концентрации вида (29.22) — (29.24) и деформация­ ми кристаллической решетки. Фурье-образ деформации, отсчи­ танной от состояния недеформированной матрицы, выражается

через фурье-образы смещений следующей обычной формулой:

(29.25)

где u (k) — фурье-образ смещений. Выражение для фурье-образа смещений, являющихся решением уравнения упругого равнове­ сия, было получено ранее (см. формулу (22.10)). Используя в (22.10) правила соответствия (29.11), получим:

Подставляя (29.26) в (29.25) и учитывая (22.14), перепишем (29.25) в виде

Для^одномерного распределения (29.22) функция e(k) отлична от нуля в пределах узкого и длинного стержня в обратном про­ странстве, направленного вдоль оси [001]. Толщина этого стерж­ ня имеет порядок 2зг/Ь, длина — порядок 2n/d. В этом случае п = к/к = [001]. Используя последнее обстоятельство в (29.28), получим:

Чз (г) = Ң р - [Щйц (n)ra, + rijQu (n) и,]п=[ооіі Uс (к) е~ікг - щ г =

Выражение (29.29) справедливо с точностью до малых попра­ вок порядка dlL 1.

270