Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Для двухмерных’ распределений (29.23) функция с (к) отлична от нуля в пределах двух стержней в обратном пространстве. Один из них параллелен оси [100], другой — оси [010]. Соответствую­ щее выражение для е,;(г) имеет вид

§ 30. Одномерная модулированная структура

Рассмотрим первоначально случай одномерной модуляции

на систему параллельных чередующихся пластин с составами с?

ис®. Эти пластины перпендикулярны к направлению модуляции

[001]и пересекают весь комплекс. Отношение суммы толщин пла­

стин с составом cj к суммарной толщине всех пластин в комплексе

с составами cj и с“ равно уі.

Легко видеть, что этими свойствами обладает бесчисленное множество пластинчатых распределений. Для того чтобы уста­

новить вид оптимального распределения (вид функции с/001^ (z)), необходимо из класса распределений концентрации, обеспечиваю­ щих минимум Fо, отобрать то распределение, которое обеспечива­ ет минимум суммы упругой энергии АЕ и энергии поверхностного натяжения на межфазных границах. Соответствующую вариацион­ ную задачу будем решать в два этапа.

На первом этапе будем искать распределения концентрации, обеспечивающие минимум упругой энергии АЕ при постоянном значении энергии поверхностного натяжения. Последнее допол­ нительное условие эквивалентно условию постоянства числа пластинчатых включений обеих фаз, целиком заполняющих ком­ плекс, так как число включений однозначно связано с суммар­ ной поверхностью межфазных границ, а следовательно, и с величиной энергии поверхностного натяжения. Подытоживая сказанное, можно Сформулировать первую часть вариационной задачи следующим образом: оптимальное распределение, обеспе­ чивающее минимум энергии АЕ, ищется среди распределений

271

концентрации, которые представляют собой «сэндвич», целиком заполняющий комплекс и составленный из пластинчатых включе­

ний двух фаз с составами cj и с". Число включений в «сэндвиче»

иотношение объемов фаз полагаются заданными.

ВПриложении 4 показано, что минимум АЕ при указанных дополнительных условиях обеспечивается периодическим распре­ делением концентрации, представляющим собой правильное че­

щину (рис. 54). Отношение толщин пластин разного сор­ та равно у. Период распреде­ ления яо определяется числом включений в комплексе, ко­

ладывается на длине Lz. Лег­ ко видеть, что число вклю­ чений каждого из сортов при полученном строении элемен­ тарной ячейки распределения равно N. Энергия АЕ, отве­

_ 2 Vi 1

ая2 " I т ід- s i r щт,

т=і 1

Ао = —ЗК-А-(сп —c12)/ch — положительная константа, S —пло­ щадь цилиндрической поверхности, параллельной направлению модуляции [001], ограничивающей комплекс.

Единственным еще не определенным параметром в уравнении (30.2) является период модуляции яо, однозначно связанный с произвольно заданным нами числом включений. Величина периода яо должна быть определена на втором этапе решения вариационной задачи. Второй этап заключается в определении минимума суммы упругой энергии АЕ0 (30.2) и энергии поверхностного натяжения

272

комплекса) по числу включений или, что то же самое, по пери­ оду а0.

Минимизируя сумму энергии (30.2) и (30.3) по а<» (свободная энергия Fo не зависит от а0, а потому может не учитываться при

Как было показано в § 29, кроме одномерных распределений типа (29.22) минимум объемной свободной энергии обеспечивают также двухмерные распределения типа (29.23). Для этих распре­ делений свободная энергия, пропор­ циональная объему,имеет вид (29.20).

Последнее связано с тем обстоятель­

где / (с) — эффективная плотность свободной энергии (29.21), р —неопределенный множитель Лагранжа, играющий роль хими­ ческого потенциала. Уравнение (31.1) определяет концентрации фаз, которые могут сосуществовать одновременно, и в общем слу­ чае имеет три решения (см. рис. 55): сДр), с2(р), с3(р). Двухмерное

273

распределение (29.23) будет принимать три значения только в

том случае, если каждая из функций с)*100-1(х) и с^010-1(у) принимает только два значения [сх (р) — с)/2 и [с2(р) — с]/2. При этом с^р) и с2(р) — два значения концентрации с (г), а третье значение равно [сх(р) + с2(р)]/2. Равенство

Обозначим через Yi долю объема комплекса V, внутри которого

/ (<я) + / ы _ f I Cl + сг j ^ Q

(это видно из рис. 55), то первое слагаемое в (31.6) принимает минимальное значение, если

Полученные ограничения на вид'функций’с2100І(;г) и с2°Ш(*/) еш.ѳ не полностью определяют вид с (г): имеется бесчисленное множе­ ство функций вида (29.23), удовлетворяющих полученным огра­

274

ничениям, относительно которых значение свободной энергии F0 вырождено. По этой причине для полного выяснения вида функции с (г) требуется, как и в одномерном случае, минимизировать ранее не учтенные дополнительные слагаемые в свободной энергии: упругую энергию АЕ, пропорциональную площади внешней гра­ ницы комплекса, и поверхностную энергию межфазных границ Es. Из (29.18) и (29.23) следует, что величина АЕ для двухмер­ ного распределения распадается на сумму двух величин

в направлениях [100] и [010]. По этой причине задача минимизации величины АЕ для двухмерного распределения при заданном объе­ ме V и заданном числе межфазных границ (числе включений) сво­ дится к рассмотренной в Приложении 4 задаче о минимизации АЕ для одномерного распределения. Таким образом, можно утвер­

ждать, что минимум АЕ реализуется, если с£100](х) и с[ш ^(у) — пе­ риодические функции того же вида, что и в одномерном случае. Соответствующие минимальные значения A£T100:| и Аі?[010] опре­ деляются равенствами типа (30.2):

где £[юо]> £[оіо] и а[іоо], а[ою] —площади внешних поверхностей комплексов и периоды одномерных распределений, параллельных направлениям [100] и [010]. В (31.9) и (31.10) принято во внима­ ние то обстоятельство, что амплитуды одномерных концентра­

ционных распределений с|100І(.г) и c2t<)10'1(у) в два раза меньше, чем амплитуды одномерного распределения, и равны сгІ2 и с2/2.

Рассмотрим для простоты случай, когда коэффициент поверх­ ностного натяжения у на межфазных границах пропорционален квадрату разности концентраций сопрягающихся фаз:

параметр решетки сплава. Формула (31.11) всегда справедлива при малой величине скачка концентрации на межфазных грани-

энергия поверхностного натяжения двухмерного распределения, как и упругая энергия АЕ, может быть представлена в виде

275