Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Спектральная плотность мощности эквивалентных флуктуаций реак­ тивности находится из выражения:

поскольку малые флуктуации реактивности могут рассматриваться как введение в критический реактор источника мощностью рnil нейтронов в секунду на такое время, пока результирующая флуктуа­ ция полного числа нейтронов п остается малой. Комбинация урав­ нений (5.7) и (5.9) дает выражение

Поскольку шум реактора, чтобы быть изученным, должен фикси­ роваться, должен быть рассмотрен и процесс регистрации, которая обычно ведется с помощью детектора (такого, как ионизационная камера, которая, поглощая некоторое количество нейтронов в реак­ торе, выдает электрический сигнал). Будем считать, что этот детек­ тор собирает часть всех нейтронов, поглощаемых в реакторе. Сред­ ний ток, проходящий через камеру, будет определяться выраже­ нием

где Q — заряд, возникающий при поглощении нейтрона. На этот установившийся ток будут налагаться флуктуирующие токи, кото­ рые образуются по двум причинам. Во-первых, флуктуации тока вы­ зываются шумовыми флуктуациями числа нейтронов реактора, воз­ действию которых и подвергается камера. Эти флуктуации описы­ ваются следующим образом:

nl v

где Я р (со) — передаточная функция реактивности реактора. Во-

вторых, поскольку установившийся ток I в камере создается многи­ ми импульсами тока, образующимися при регистрации отдельных нейтронов, то, вследствие статистического характера процесса ре­ гистрации, появляется компонента, имеющая характер белого шума. Ее спектральная плотность может быть получена с помощью урав­ нения (5 1)

114

Поскольку эти две компоненты шума в первом приближении являются некоррелированными (если е 1), их просуммированные спектральные плотности определяют шум полного тока на выходе камеры:

Следовательно,

Передаточная функция реактивности критического на всех нейт­ ронах реактора без специального учета влияния запаздывающих нейтронов определяется как

Таким образом, отношение реакторного шума к белому шуму на выходе камеры зависит от эффективности камеры е.

Для того чтобы шум камеры не был ограничивающим фактором, т. е. чтобы компонента реакторного шума могла наблюдаться, эф­ фективность детектора е в частотной области, где детектор является

требование во много раз, поскольку наличие члена со второй сте­ пенью очень быстро снижает вклад меньшей компоненты.

Тип спектра шума, описываемого уравнением (5.17), экспери­ ментально наблюдался на ряде реакторов [5]. Уравнение (5.17) содержит полное описание шума реактора*. Оно точно эквивалент­ но выражениям, полученным в других работах [6 ], в которых ис­ пользовались другие, совершенно различные методы. Оно может использоваться для объяснения появления шумов других типов

истатистических экспериментов на реакторах [7—93.

*Фактически описывает шум цепной .реакции, включая процесс его регистрации. — Прим. ред.

115.

§ 5.3. Метод Ланжевена — модель с сосредоточенными параметрами

Переходя к рассмотрению уравнений кинетики реактора, следует иметь в виду, что переменные и соотношения между переменными являются стохастическими или случайными функциями времени. Уравнения реактора с сосредоточенными параметрами могут быть записаны в операторной форме:

А/ = 1

где А, Р; и Xt — рассматриваемые постоянные параметры и D — опе­ ратор производной по времени. Эти уравнения описывают кине­ тику идеального (без шумов) реактора при произвольном изме­ нении реактивности. Если реактивность поддерживать постоянной, то не должно быть решений, которые имели бы характер шума. Но это не согласуется с поведением реакторов, и, следовательно, эти уравнения необходимо расширить для того, чтобы они учитывали наблюдаемый шум.

Мур [11, 12] отметил, что эти параметры в действительности являются усредненными по времени величинами, получаемыми при макроскопических наблюдениях. Если, например, измеряются мгно­ венные значения X, то должен быть определен ряд значений Xh, математическое ожидание которого является тем значением X, ко­ торое входит в уравнения (5.18) и (5.19).

где б Xi (t) — случайная флуктуация, имеющая нулевое математи­ ческое ожидание, т. е.

Поэтому равенства (5.18) и (5.19) можно рассматривать как форму записи математического ожидания другого ряда дифференциальных уравнений, которые могут быть названы макростохастическими уравнениями системы. Параметры в уравнениях (5.18) и (5.19) яв­ ляются математическими ожиданиями стохастических параметров, а переменные — математическими ожиданиями стохастических пе­ ременных.

Прежде чем перейти к макростохастическим уравнениям, уста­ новим, какие именно из параметров в уравнениях (5.18) и (5.19) стохастические. Рассмотрим невозмущенный реактор, описываемый

116

уравнениями (5.18) и (5.19) с одной группой запаздывающих нейт­ ронов. В этом случае эти уравнения перейдут в равенства:

Можно показать, что для того, чтобы система имела стационарноэргодический шум (который для наших целей является типичным щумом, представляющим интерес), достаточным условием является неинвариантность оператора, определяющего систему, по отноше­ нию к изменению хода времени [12]. Оператор в уравнении (5.25) удовлетворяет этому требованию. Кроме того, можно также показать, что, если имеются стохастические параметры, которые создают ста­ ционарный шум, они не могут быть фундаментально связаны с производными высшего порядка в системе, определяющей оператор. Это рассмотрение наводит на мысль, что для того, чтобы найти пара­ метры, достаточные для создания стационарно-эргодического шума, необходимо, рассмотрев только уравнение (5.25), определить, ка­ кие параметры при исключении из системы оставляют результирую­ щее уравнение инвариантным к изменению времени. Это удовлетво­ ряется при условии, что производная высшего порядка системы остается в результирующем инвариантном уравнении. Такое рас­ смотрение показывает, что исключение параметров К и р/Л приводит уравнение (5.25) к виду

в котором сохранился оператор D2 и которое инвариантно к измене­ нию хода времени. Следует подчеркнуть, что эти аргументы лишь устанавливают достаточный ряд стохастических параметров и дают максимум того, что можно ожидать от макроскопической теории. Микроскопическая стохастическая теория кинетики реактора, хотя и является очень сложной, определяет необходимые и достаточные параметры и их среднеквадратические значения. Эти последние определяют относительный вклад каждого источника шума в сум­ марный шум. Рассмотрим параметры X и р/Л, представленные в общем случае в виде

117

Подставив эти соотношения в уравнения (5.23) и (5.24) и выде­ лив изменяющиеся члены, получим:

где выражения в правых частях уравнений (5.29) и (5.30) представ­ ляет собой макростохастические возмущающие функции реактор­ ной системы. Прибегнув к вычислению математического ожидания, величин, уравнения (5.29) и (5.30) можно свести к уравнениям (5.23)

и (5.24), если

Е (t) n(t)+6\(t)c(t) = 0 , (5.31)

Л I о

т. е. если математические ожидания макростохастических возмуща­ ющих функций в уравнениях (5.29) и (5.30) равны нулю. Как отме­ тил Мур [12], р, Л и X могут считаться флуктуирующими при рас­ смотрении, ограниченном только макроскопическими условиями, тогда как п (t) и с (t) являются функциями, ограничиваемыми микро­ скопической системой, и средние значения результатов умножения 6 А, (t) и б [р/Л (/)] на п (() и с (/) должны быть исчезающе малы. Сле­ довательно, уравнение (5.31) удовлетворяется.

Уравнения (5.29) и (5.30) могут быть названы уравнениями Ланжевена, поскольку операторы в квадратных скобках уравнений (5.29) и (5.30) являются функциями дифференциального оператора одной переменной.

В рассматриваемом примере реактор был «невозмущен», т. е. флуктуации реактивности и мощности нейтронного источника были запрещены. Во многих реакторах такие флуктуации очень сущест­ венны и иногда полностью определяют динамическое поведение ре­ акторной системы. Часто флуктуации реактивности в энергетическом реакторе зависят от уровня мощности. Флуктуации мощности источ­ ника могут быть обусловлены присутствием постороннего источника (либо искусственных источников, таких, как Ри — Be, Sb — Be, Ra — Be и т. д., либо нейтронных генераторов ускорительного типа) или внутреннего источника (спонтанное деление горючего, реакции (у, п) на замедлителе). За исключением случаев применения нейтрон­ ного генератора и перемещения регулирующих устройств, статисти­ ческие характеристики (включая спектральную плотность мощности) входных флуктуаций либо в мощности источника, либо в реактив-

118