Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Преобразование Фурье взаимной корреляционной функции бело­ го шума, описываемой уравнением (5.41), приводит к выражению

Таким образом, функция взаимной спектральной плотности имеет вид

определяемой передаточной функцией источника в точке г', т. е. представляет собой отношение преобразования Лапласа плотности нейтронов в точке гх к преобразованию Лапласа единичного источника в точке г(. Отметим, что Я (г[, rx, s) является функцией

де чем применять уравнение- (5.42), нужно найти выражение для А (г2). Это может быть сделано для одной из нескольких возможных моделей, которые описывают реакторную систему. Использование хорошо известной пространственно независимой модели, включая запаздывающие нейтроны, дает лишь приближенно правильные ре­ зультаты.-Неточность является прямым следствием предположения о том, что источник шума имеет характер белого шума, но в единицах частоты погрешность незначительна из-за малого объема области источника шума.

Выражение для А (гх) выводится ниже с помощью обобщения пространственно независимого метода, предложенного Коэном [1]. Величина А (гх) представляет собой входную или эквивалентную спектральную плотность мощности источника на единицу объема около точки Гз. Как результат предположения о белом шуме она яв­ ляется постоянной по отношению к частоте со. Затем для вычисления этого постоянного спектра используется формула Шотки [2]. Гово­ ря более точно, поскольку формула Шотки аппроксимирует реаль­ ный спектр его значением при нулевой частоте, приближение спра­ ведливо вплоть до частот порядка обратной величины среднего вре­ мени корреляции (т. е. среднего времени, в течение которого реаль­ ный процесс сильно коррелирован). Коэн отметил, что для простран­ ственно независимого случая это среднее время должно быть поряд­ ка времени, требуемого для перехода нейтрона из связанного в не­ связанное квантовое состояние, которое меньше, чем Ю-20 сек. Такая оценка полностью приемлема здесь..

123

Для расчета коэффициента источника шума или, иначе, спект­ ральной плотности мощности реакторного источника эквивалент­ ного шума, формула Шотки записывается в следующем виде:

где А (г) имеет размерность нейтрон2/(см3■сек); qt — полное число

нейтронов, образующихся при одной ядерной реакции типа £, >щ — среднее число реакций типа £, происходящих в кубическом санти­ метре. Неявно эта формула предполагает, что все реакции незави­ симы. Различные реакции, приравниваемые к эквивалентному ис­ точнику, приводятся в табл. 5.2. Здесь р (vp) — вероятность испус-

кания при данном делении vp мгновенных нейтронов; 2 П/ — макроскопическое сечение поглощения без деления; I — время жизни теплового нейтрона, равное 1/оЕа; остальные обозначения имеют свой обычный смысл. Применение уравнения (5.47) к про­ цессам, перечисленным в табл. 5.2, приводит к следующему выра­ жению для А (г):

124

где в зонах, в которых k = v 2 у/2 а равно нулю, сг (г), конечно, тоже равны нулю и

Необходимо найти выражение для среднего квадрата числа мгновен­ ных нейтронов, которое может быть получено несколькими путями. Предположим на мгновение, что Р — константа, а не средняя флук­ туирующая величина, т. е. Р — условная вероятность того, что если нейтрон испускается, то он с вероятностью р будет запаздывающим нейтроном, а (1 — Р) — условная вероятность испускания мгновен­

+ 5 ( г )- - -V * „ (r ) = ^ k l - P ) ^ = ^ - +

Найдем также соотношение между п (г) и S (г) для подкритического, случая, которое для несложного распределения источников является очень простым. Например, для бесконечного гомогенного реактора с равномерным распределением источников средняя нейтронная плотность связана с плотностью источника соотношением

В этом случае уравнение (5.53) имеет вид:

Предположение о постоянстве р можно легко исключить, но сна­ чала надо оценить предположение о том, что источник шума имеет характер белого шума. Использование предположения о белом шуме в случае пространственно независимой модели, включая запазды­ вающие нейтроны, несколько не согласуется с тем, что было получена Беннетом и др. [13]. Различия имеют величину порядка р. Действи­ тельно, величина несоответствия достаточно мала, так что этим почти всегда-можно пренебречь.

125

Приложение к скорости счета детектора. Для анализа результа­ тов экспериментальных измерений проведем некоторую модифика­ цию предшествующих результатов, связанных с нейтронной плот­ ностью. Скорость счета детектора определяется как

где — макроскопическое сечение детектирования. Это значение является математическим пределом скорости счета, измеряемой на интервале Т, когда Т 0. Исторически величина A была заме-, йена на еЕ/ или е02 а, где е и е0 представляют эффективности детек­ тора (т. е. отношение числа отсчетов в детекторе либо к скорости де­ ления в единице объема, либо к скорости поглощения в единице объема). Хотя флуктуации скорости счета пропорциональны флук­ туациям нейтронной плотности, если величина v (AV2d) постоянна, из этого не следует, что автокорреляционная или взаимная корреля­ ционная функция скорости счета пропорциональна нейтройной плотности. Это различие объясняется тем, что счетчик при детекти­ ровании нейтронов поглощает их. Таким образом, корреляция в ней­ тронной плотности, которая будет следствием присутствия одного нейтрона в системе в начальный момент времени t и присутствия того же нейтрона или дочерного в конечный момент времени t + т, долж­ на быть исключена из корреляционной функции скорости счета. Од­ нако корреляция единичного нейтрона вносит вклад в автокорреля­ ционную функцию при т = 0 или в дисперсию скорости счета.

§5.5. Пространственно-зависимый шум

вбесконечной среде

Взаимная корреляция в бесконечной среде. Для получения взаим­ ной корреляционной функции нейтронной плотности между двумя точками наблюдения гх и г2 в однородной гомогенной бесконечной среде Шефф и Альбрехт [3, 4] использовали функцию Грина в общем уравнении (5.42):

Ф*. и, (ri- г’- ' т) =

* гг

Сделав эту подстановку, отметив, что коэффициент входного шума А — константа, и выполнив указанное интегрирование, получим взаимную корреляционную функцию:

126

и и (t—а) является единичной ступенчатой функцией. Выражение для автокорреляционной функции для выбранной точки наблю­ дения можно легко получить из уравнения (5.58), приравняв г2 к г2:

00

Подстановка значения константы А, определяемой уравнением (5.55), в соотношения (5.58) и (5.60) дает взаимную-и автокорреля­ ционную функции соответственно для нейтронной плотности. Одна­ ко корреляционные функции скорости счета отличаются от корреля­ ционных функций нейтронной плотности, так как детектор при ре­ гистрации поглощает нейтрон. Поскольку измеряется именно ско­ рость счета, детекторная корреляция является наиболее интересной. Шефф и Альбрехт [3,4] получили автокорреляционную функцию ско­ рости счета:

Детектор имеет объем ДУ, сечение 2 d, среднюю скорость счета с — = vAVhdn. Следовательно, размерность корреляционной функции скорости счета сект2. Автокорреляционная функция, описываемая уравнением (5.61), является пространственно-независимой, но она существенно отличается от функции для модели реактора с сосредо­ точенными параметрами, которая представляет собой простую экспо­ ненту:

Автокорреляционная функция в точке для бесконечного реактора отличается от. корреляции для реактора с сосредоточенными пара-

127