Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

ности не могут быть проконтролированы. Точнее, эти характерис­ тики зависят от природы рассматриваемых процессов. Часто для таких входных флуктуаций принимается предположение об их белом спектре, но такое предположение должно быть обосновано.

§ 5.4. Пространственно-зависимый реакторный шум*

Общая теоретическая модель. Теория пространственно-зависи­ мых стохастических флуктуаций, разработанная Шеффом и Аль­ брехтом [3,4], является достаточно общей, так что к конкретной мо­ дели реактора может быть применен любой подход, в котором на­ ходится соответствующая функция Грина для уравнения средней нейтронной плотности рассматриваемой системы. Здесь использует­ ся приближение, основанное на методе Ланжевена, целью которо­ го в первую очередь является получение взаимной корреляционной функции нейтронной плотности или вообще выходного сигнала в за­ висимости от корреляционной функции входного сигнала й системы функций Грина для рассматриваемого уравнения. Эта процедура затем обобщается для того, чтобы установить корреляционные функции скорости счета в точке. Функции спектральной плотности получаются с помощью преобразования Фурье, либо результирую­ щей корреляционной функции, либо основного уравнения. Это дает возможность получить взаимную корреляционную функцию как результат двойной свертки по двум функциям Грина и корреля­ ционную функцию эквивалентных «источников шума», находящихся в системе. Свойство этих источников шума довольно детально ис­ следовано, чтобы можно было выявить основные физические взаимо­ связи, необходимые для получения расчетного метода и конкретных формул.

Модель, используемая для расчета взаимной и автокорреляцион­ ных функций, основывается на функции Грина или весовой функции решения линейной системы. Хорошо известно, что плотность нейт­ ронов может быть получена при помощи интеграла свертки, если из­ вестно распределение источников и функция Грина. Теперь пред­ положим, что источник или входной сигнал флуктуирует стохасти­ ческим образом. Тогда нейтронная плотность или выходной сигнал также имеет стохастические флуктуации. Физический смысл члена флуктуирующего источника или входного сигнала может быть полу­ чен путем обобщения метода Ланжевена, данного Муром [12]. По­ скольку свертка включает интегрирование, выходной сигнал систе­ мы является менее случайным, чем входной, из-за «сглаживания», производимого при интегрировании. Сточки зрения физики процес­ са, флуктуации во входном сигнале зависят от характерных длин и времен, связанных с индивидуальными столкновениями, в то вре­ мя как пространственное и временное изменение выходного сигнала

* § 5.4 — 5.7 представляют обзор работ [3, 4].

119

должно оставаться значительно более медленным, чтобы гаранти­ ровать применимость приближения о непрерывной плотности нейт­ ронов. Свертка включает интегрирование как по объему, так и по времени и имеет вид:

оо

О г '

где h (г', г, т) — функция Грина. Как у (г, t), так и х (г, t) флук­ туируют и связаны друг с другом выражением

Когда оператор Г (r, t) является функцией дифференциальных опера­ торов одной переменной, уравнение (5.33) называется уравнением Ланжевена.

Уравнения кинетики реактора, включающие временные и про­ странственные эффекты, для средних значений (средний входной сигнал равен нулю) записываются в следующем виде:

средние значения величин, которые в действительности флуктуи­ руют стохастическим образом, т. е.

Проведем конкретный расчет взаимной корреляционной функции

120

Уравнение (5.38) усредняется по ансамблю сигналов или, в пред­ положении эргодичности процесса, по времени. Взаимная корреля­ ционная функция выходного сигнала определяется как

т

где сделана подстановка t2 — tx + т. Взаимная корреляционная функция входного сигнала выражается подобным же образом. При таких определениях усреднение по времени уравнения (5.38) дает взаимную корреляционную функцию выходного сигнала для левой части уравнения (5.38). Изменяя порядок интегрирования, легко показать, что правая часть содержит взаимную корреляционную функцию входного сигнала. Результатом этого является:

Уравнение (5.40) является общим, поскольку еще не ограничивается физическими условиями, которые будут введены в дальнейшем. Од­ нако прежде чем получить нужные результаты на основании уравне­ ния (5.40), необходимо знать корреляционную функцию входного сигнала. Часто ее значение не бывает точно известно, но точно из­ вестно ее значение при т = 0. В этом случае чаще всего предпола­ гается, что она соответствует белому шуму, т. е. корреляция вход­ ного сигнала принимается пропорциональной дельта-функции Дира­ ка. Это предположение ограничивает обоснованность (достоверность) корреляционной функции выходного сигнала значительно больше по сравнению с действительной «шириной» пика корреляционной функции входного сигнала. Часто предположение о белом шуме делается тогда, когда известна автокорреляционная функция вход­ ного сигнала и когда его использование оправдывается упрощением решения и соответствующими требованиями для получения резуль­ тата. Взаимная корреляционная функция входного сигнала, имею­ щего характер белого шума, в общем случае описывается следую­ щим образом:

ф*»*, 0ч, г;, Т + Т х — т2) = Л (г;)б(г; —г ') б ( т + Т х — т2). (5.41)

Уравнение (5.41) указывает на то, что корреляция существует толь­ ко для идентичных точек по объему и при т = т2 — тх. Часто вели-

121

чина корреляции является функцией пространственных перемен­ ных. Подстановка уравнения (5.41) в (5.40) дает:

4W , (П. г2, т) =

Эти ограничения вызваны тем, что функция Грина при отрицатель­ ном аргументе равна нулю. Автокорреляционная функция получит­

ключение содержит в себе предположение, что процесс накладывает­ ся на среднюю нейтронную плотность. Таким образом, автокорре­ ляционная функция содержит подлежащий вычитанию квадрат сред­ него значения, а взаимная корреляционная функция — подлежащее вычитанию произведение двух средних значений. Более правильно эти функции называть авто- и взаимными ковариационными функ­ циями.

б. Функция взаимной спектральной плотности. Важно рассмо реть и другую форму уравнения (5.42) в зависимости от функций взаимной спектральной плотности, поскольку этот результат в неко­ торых случаях будет более удобен. Коэффициент во взаимной'корре­ ляционной функции белого шума А (г) так же, как и обоснование и ограничения, связанные с предположением белого шума, может быть более легко получен при изучении поведения функции спект­ ральной плотности.

Преобразование Фурье уравнения (5.40) приводит к следующему

где Н (r[, Г!, jco) — частотная характеристика для единичного то­ чечного источника, расположенного в точке rj, которая получается преобразованием Лапласа функции Грина с заменой s на jco. По от­ ношению к переменной Лапласа s она является передаточной функ­ цией. Отметим, что по отношению к пространственным переменным она остается функцией Грина и что она может быть также использо­ вана для получения передаточных функций для более сложных рас­ пределений источников. Звездочка указывает на комплексно, со­ пряженную переменную.

122