Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

ближается к спектру точечного детектора в бесконечной среде. В ог­ раниченных системах спектр меньше изменяется на осях симметрии, но не становится даже приближенно подобным результату в точеч­ ном реакторе до тех пор, пока имеются все шесть границ параллеле­ пипеда (или их эквивалентов в других геометриях).

Рис. 5.5. Влияние размера детектора на автокорреля­ ционную функцию скорости счета в беско­ нечном гомогенном критическом реакторе [4]. (Числа у кривых означают размер де­ тектора в диффузионных длинах.)

Детектор конечных размеров в бесконечной среде дает результа­ ты, которые приближаются к результатам для реактора с сосредото­ ченными параметрами. Результаты, полученные для ограниченной среды, показывают, как и ожидалось, что автокорреляционная функ­ ция основной собственной функции даже для точечного детектора рав­ на результату, полученному для реактора с сосредоточенными пара­ метрами. Таким образом, рассмотрение детектора конечных размеров

134

в реакторе конечных размеров дает хорошее приближение к авто­ корреляционной функции реактора с сосредоточенными параметра­ ми. С другой стороны, расчеты Шеффа и Альбрехта [4] выявили про­ странственные эффекты, которые оказались более явно выраженны­ ми, в реальной системе реактора без отражателя. Одна из причин этого — использование функции Грина применительно к односко­ ростной диффузионной теории. Интуитивно можно ожидать, что включение зависимостей от энергии, так же как и эффектов переноса, должно привести к уменьшению влияния высших пространственных гармоник в определении корреляционных функций и (или) функций спектральной плотности.

§5.7. Пространственно-зависимый шум

впараллелепипеде без отражателя

Корреляционные функции. Взаимная корреляционная функция в параллелепипеде без отражателя между двумя точками с коорди­ натами гх и г2 получается с помощью функции Грина в общем урав­ нении для взаимной корреляционной функции. Необходимо выбрать распределение внешних источников нейтронов и найти соответст­ вующий коэффициент взаимной корреляции входного сигнала.

Наиболее интересной и реальной формой для выбора распреде­ ления источника и, следовательно, коэффициента источника входно­ го сигнала является распределение по критической собственной функ­ ции. При желании легко перейти к распределению точечных источ­ ников.

Результирующей взаимной корреляционной функцией скорости счета для бесконечного времени запаздывания является выраже­ ние:

Фг/1 У2 ( Г1> Г2> 10 —

ции; g и h — индексы тройного суммирования; е' — отношение чис­ ла отсчетов в единице объема детектора к числу делений в единице объема реактора при детекторах, размещенных в реакторе. Величина е' эквивалентна отношению &/AV, где АГ — объем детектора.

Функции спектральной плотности. Функция взаимной спектраль­ ной плотности в реакторе формы параллелепипеда без отражателя легко получается с помощью преобразования Фурье уравнения(5.69).

135

Функция спектральной плотности мощности в таком реакторе яв­ ляется просто частным случаем при г1 = /-2. Действуя подобным об­ разом и затем включая влияние запаздывающих нейтронов в члены, зависящие от частоты, получаем:

Результат существенным образом перегруппирован для того, что­ бы подчеркнуть тот факт, что он дает действительную величину (т. е. корреляционная функция является симметричной относитель­ но т = 0). Первые две строчки спектральной плотности [см. урав­ нение (5.71)] независимы от частоты и соответствуют членам белого шума в пространственно независимой функции спектральной плот­ ности. Основная составляющая (мода), т. е. член для g (g , т, р = = 1, 1, 1), запишется как

Величина в квадратных скобках идентична результату для про­ странственно независимого случая, исключая е', которое равно

и дает отношение отсчетов на единицу объема детектора к числу деле­ ний в единице объема. Определение, более часто используемое в про­ странственно независимой теории, представляет собой отношение полного числа отсчетов в детекторе к полному числу делений в реак­ торе.

Очень интересный факт, появляющийся при численном решении уравнения (5.71), состоит в том, что преобладание пространственно независимой формы или главного члена ряда происходит не столько из-за быстрой сходимости, сколько из-за значительного взаимного сокращения членов более высокого порядка. Таким образом, в ку-

136

бическом реакторе без отражателя не наблюдается исчезновение отдельных членов высокого порядка, а отклонение от основного члена является результатом суммирования многих членов.

Поскольку функция спектральной плотности мощности обычно более часто используется в измерениях реакторного шума, Шефф и Альбрехт [3, 4] представили несколько графических расчетов в од­ носкоростном диффузионном приближении, чтобы проиллюстриро­ вать влияние изменения расположения детектора в критическом

Рис. 5.6. Сравнение функции спектральной плотности мощности скорости счета для точечного де­ тектора, размещенного в центре гомогенных кубических реакторой без отражателя [4].

и подкритическом реакторах кубической формы без отражателя. Осо­ бый интерес в этих данных представляет влияние изменения безраз­ мерного параметра L 2B 2 при изменении объема реактора. Вместо того чтобы уменьшаться при увеличении объема реактора, он воз­ растает, и, следовательно, в геометрически малых системах наблю­ даются наибольшие пространственно зависимые эффекты.

С помощью уравнения (5.71) были сделаны численные расчеты спектральной плотности для куба со стороной s как включая, так и исключая белый шум (или независимую от частоты часть), т. е. первые две строчки уравнения (5.71). В представленных кривых бе­ лый шум исключен, поэтому легко выявляются пространственно зависимые эффекты. На рис. 5.6 изображена спектральная плот­ ность мощности, включая член белого шума, для детектора, распо­ ложенного в геометрическом центре куба, т. е. х = у = z = 0, а поверхности куба находятся на расстоянии ±st2. Все рассматривае­ мые реакторы критические, и асимптотическое поведение для про­ странственно независимого случая показано пунктирными линиями

137

в области со = (3// (где I — время жизни мгновенных нейтронов в ко­ нечной среде и записываемое выше как основной составляющей).

На рис. 5.6 видно, что для наибольшего значения Ь2В2 = 0,3031 или для наименьшего реактора в единицах диффузионной длины (но наибольшего по физическим размерам) пространственно зависимые эффекты почти отсутствуют. Эти эффекты имеют место лишь при вы­ соких частотах и низких амплитудах, когда становятся неизмеряемыми. Высокочастотная пространственно независимая постоянная составляющая по форме пропорциональная со2 является обоснован-

Рис. 5.7. Функции спектральной плотности мощности для скорости счета точечного детектора, размещенного в точке с координатами x = y = z —slA в критических кубических ре­ акторах без отражения.

ной вплоть до частот около 300 рад/сек и амплитуд на 3 декады (60 дб) ниже плато. При переходе к меньшим значениям L2B2 про­ странственно зависимые эффекты становятся более явно выражен­ ными. Для наименьшего значения Ь2В2 = 0,0197 функция спектраль­ ной плотности хуже аппроксимируется с помощью пространствен­ но независимой формы для всех частот, много больших, чем частота излома, равная 267 рад/сек.

На рис. 5.7 представлены графики спектральной плотности мощ­ ности тех же критических реакторов для детектора, смещенного относительно центра куба к углу и имеющего координаты х — у = = z = si4. В этом случае для наибольшего значения Ь2В2 = = 0,3031 пространственно независимая форма еще до некоторой сте­ пени является преобладающей, это приближение является справед­ ливым вплоть до частоты, равной примерно 80 рад/сек, и амплитуд,

138

на 1,5 декады. (30 дб) меньших амплитуды плато. Для случая малых значений Ь2В2 пространственно независимая составляющая пол­ ностью отсутствует для частот порядка (}// и выше. Действительно, асимптотический ход зависимости для частот, больших со = {У/, более близок к результату, получаемому для точечного детектора в бесконечной среде, имеющему асимптотический ход, пропорцио-

Рис. 5.8. Влияние подкритичности на функции спектральной плотности мощности скоро­ сти счета для точечного детектора, раз­ мещенного в центре гомогенных кубиче­ ских реакторов без отражателя [4]:

нальный а 1/2. В общем, эффект приближения к границам увеличи­ вает составляющую белого шума в спектре и уменьшает амплитуду. В пределе, на поверхности реактора, спектр становится плоским, или белым, с нулевой амплитудой.

На рис. 5.8 показано влияние подкритичности в 3 и 6 (3 (долла­ ров) на спектральную плотность детектора, расположенного в цент­ ре куба, х — у = z — 0. Пунктирные линии при больших частотах представляют результаты машинного расчета, которые являются

139

более точными, но требуют чрезвычайно много машинного времени. Зона с малым значением L2B2 плохо аппроксимируется пространст­ венно независимой составляющей.

Все расчеты, представленные для кубического реактора без от­ ражателя, выполнены в предположении точечного детектора. Для отдельно рассмотренного случая было отмечено, что реакторы с боль­ шим В2 проявляют более сильное изменение спектральной плот­ ности, чем реакторы с малой величиной В2. Это условие может не выполняться при рассмотрении детектора конечных размеров. В этом случае меньший (по размерам) реактор будет, вероятно, более

спектральной плотности. Как указывалось выше, влияние конечных размеров детектора, размещаемого в бесконечной среде, приводит к тому, что спектральная плотность приближается к результату, получаемому для реактора с сосредоточенными параметрами. Мож­ но показать, что эффект незначителен для детекторов малых разме­ ров порядка нескольких диффузионных длин или меньше. Однако на практике детекторы часто имеют значительно большие размеры, по крайней мере в одном измерении. Следовательно, детектор конеч­ ных размеров в кубическом реакторе без отражателя должен иметь спектральную плотность, описываемую лучше всего основной со­ ставляющей (собственной функцией).

§ 5.8. Заключение

Расчеты, сделанные Шеффом и Альбрехтом, иллюстрируют не­ сколько интересных аспектов, касающихся явлений реакторного шу­ ма, которые проявляются, только когда используется пространствен­ но зависимая теория. Среди них наиболее важны следующие:

1. Обычно применяемая точечная модель реактора эквивалентна размещению бесконечного однородного детектора в бесконечной раз­ множающей среде. Точечный детектор в бесконечной среде не дает согласия с результатами для точечного реактора.

2. Функции взаимной корреляции и спектральной плотности в бесконечной среде были получены в явном виде, и были установле­ ны свойства, зависящие как от расстояния между детекторами в дли­ нах диффузии, так и от времени или частоты.

3.Эффект приближения детектора к границе состоит в том, что спектр смещается в сторону белого шума. Этот вывод согласуется с влиянием эффективности детектора в пространственно независимой теории.

4.Размер детекторов, когда детектор становится большим, при­ водит к результатам пространственно независимой или точечной мо­ дели.

5.В прямоугольном параллелепипеде без отражателя взаимная корреляционная функция в общем случае не является четной функ-

140