Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Спектральные плотности мощности процесса можно рассматривать как линейные функции и записать в соответствии с уравнением

(4.29) как

Применение этих соотношений к ядерным реакторам будет проде­ монстрировано ниже.

п(0

Рис. 6.1. Структурная схема системы детектирования нейтронов в реакторе.

На измерения нейтронной плотности или потока в ядерном реак­ торе оказывают влияние шумы детектора, так как детектирование нейтронов происходит в результате возникающих взаимодействий поглощения или рассеяния отдельных нейтронов. Обычно выход си­ стемы детектирования нейтронов состоит из двух компонент: одной— обусловленной флуктуациями в системе, другой — обусловленной

В общем случае шумы детектора можно рассматривать как белый шум в интересующем нас диапазоне частот, и, следовательно, Gnn (со) считать постоянной величиной.

Если функция х (/) по своей природе случайна (например, вход есть эквивалентный источник шума) или может быть сделана слу­

147

чайной (например, возмущением реактивности), GxX ( со) будет потоянной величиной. Следовательно, (6.16) примет вид:

Это соотношение, показанное на рис. 6.2, удобно для измерения вели­ чины росси-альфа подкритической и критической ядерных систем. Основной проблемой в этой методике является малое отношение кор­ релированных шумов к некоррелированным шумам (А1а?)/В. Это отношение, которое можно рассматривать как отношение сигнал/шум, очень мало для низкоэффективных детекторов даже в слу­ чае высокой скорости счета. Два асимптотических уровня в .соот­ ношении (6.2) становятся почти равными, и оценка постоянной а из этих измерений бывает затруднительной. Для успешных измере­ ний требуется эффективность детектора около 10-4, т. е. один нейт­ рон детектируется на каждые 10 000.

Из рис. 6.1 видно, что измерительную аппаратуру можно рас­ сматривать как систему с двумя входами, т. е. входами измеритель­ ной аппаратуры являются шумы детектора п (t) и выход реактора z (t). Как показано соотношением (4.206), когда два входа независи­ мы, взаимная спектральная плотность между одним входом и выхо­ дом не подвержена влиянию другого входа. Следовательно,

148

Однако для наблюдения доступны только х (/) и у (/). Поэтому, преобразовав систему, как показано на рис. 6.3, и применив урав­ нение (4.201), получим

Рис. 6.3. Альтернативная структурная схема де­ тектирования нейтронов в реакторе.

Так как Н1 (со) определяется путем калибровки аппаратуры, Я (со) находится из соотношения

Для случая, когда функция Gxx (со) неизвестна и не может быть из­ мерена, ниже описан метод взаимной корреляции двух детекторов.

§ 6.4. Измерения передаточных функций

Существуют несколько методов измерения передаточной функции ядерной системы. В общем случае измеряется реакция системы на введение известного входного сигнала (периодического, переходного и меняющегося случайно). Сигналы, изменяющиеся случайным образом, либо специально подаются на вход системы, либо возни­ кают в результате внешних возмущений, не контролируемых ис­ следователем. Необходимо быть уверенным в том, что частотное со­ держание случайных сигналов находится в интересующем нас диа­ пазоне и их амплитуда достаточно велика для проведения измерений.

Переходные и периодические сигналы являются по своей приро­ де детерминированными, поэтому с их помощью можно получить не­ обходимые амплитудные и частотные характеристики. В общем слу­ чае периодические сигналы более удобны, хотя иногда переходные сигналы имеют определенное преимущество [2]. В качестве перио­ дических могут применяться сигналы синусоидальные и прямоуголь­ ной формы, сигналы, содержащие много частот, ряды импульсов и большое многообразие волн сложных форм. Использование чисто синусоидального сигнала имеет некоторое преимущество по сравне­ нию с другими периодическими сигналами, заключающееся в том, что вся мощность такого сигнала сконцентрирована на одной частоте и, следовательно, частотная реакция системы может быть определена

149

при относительно низком отношении сигнал/шум. Если входной сигнал достаточно велик по амплитуде, для ограничения помех удобно использовать узкополосный фильтр.

Многокомпонентный периодический сигнал одновременно содер­ жит информацию о нескольких частотах. Отношение сигнал/шум на этих частотах может поддерживаться на приемлемом уровне, если мощность входного сигнала сконцентрирована на этих выделенных частотах. Образованные таким образом периодические сигналы из­ вестны как псевдослучайные сигналы. Как и случайные сигналы, многокомпонентные периодические сигналы должны охватывать инте­ ресующий частотный диапазон, кроме того, как на высших частотах, так и на низших должна быть сконцентрирована достаточная мощ­ ность сигнала. Например, принципиальным недостатком сигналов прямоугольной формы является то, что амплитуда п-й гармоники сигнала составляет 1 In амплитуды основной гармоники. Следова­ тельно, если охватываются шесть октав частоты (т. е. отношение высшей частоты к низшей равно 27, или 128), отношение амплитуд высшей и низшей частотных компонент будет 1/128, или менее \ %.

Если входной сигнал линейной системы без обратной связи яв­ ляется чистой синусоидой, выходной сигнал будет также синусои­ дой, которая отличается от входной только по амплитуде и фазовому углу. Эти изменения определяют реакцию для отдельной частоты. Реакция на входной сигнал может быть определена для ряда частот и таким образом оценена передаточная функция.

Процедура становится более сложной, когда возмущающий сиг­ нал содержит несколько частот одновременно. Теоретически фурьеанализ входного и выходного сигналов дает точное значение ампли­ туды и фазы каждой частотной компоненты, которое, в свою очередь, позволяет определить передаточную функцию. Однако практически точно ее измерить таким путем нельзя, можно только оценить пере­ даточную функцию, так как шумы и нелинейности приводят к ошиб­ кам. Качество этой оценки зависит от типа возмущающего сигнала и метода его анализа.

Выходной сигнал ядерной системы состоит из двух компонент: ре­ акции на возмущающий сигнал и случайного сигнала, который в об­ щем случае не связан с возмущающим. Теоретически можно исклю­ чить некоррелированные шумы, но только для бесконечно длинной реализации. На практике имеют дело с реализациями конечной дли­ ны, поэтому шумы вносят неопределенность в результаты. Посколь­ ку величина ошибок, вызванная шумами, является функцией отно­ шения сигнал/шум, в общем случае результаты можно улучшить, увеличивая амплитуду сигналов. Однако когда система нелинейна или ее нельзя представить дифференциальными уравнениями с по­ стоянными коэффициентами, увеличение амплитуды может вызвать искажение сигналов.

Из-за случайной природы шумов частотный анализ часто дает статистический разброс данных. Последний можно уменьшить, при­ менив один из методов сглаживания. Сглаживание проводится путем

150

усреднения по группам частот, когда частотные зависимости полу­ чены из фурье-анализа входного и выходного сигналов, или приме­ нением «весовой функции» к корреляционной функции сигнала с по­ следующим фурье-преобразованием модифицированной корреляци­ онной функции. Хотя последний метод кажется более сложным, в общем случае он удобнее для обработки. После появления алгорит­ мов быстрого фурье-преобразования этот метод при использовании ЦВМ для обработки данных требует меньших затрат времени, чем фурье-анализ.

§ 6.5. Прямой гармонический анализ

Когда шум присутствует между входом и выходом системы, он обычно появляется и в выходном сигнале. Если ко входу системы приложен пробный сигнал любого типа, то выходной сигнал содер­ жит две составляющие: одну — вызванную входным сигналом, вто­ рую — шумами самой системы. При бесконечно длительной ре­ гистрации входного и выходного сигналов в принципе возможно отде­ лить шумы от выходного сигнала и точно измерить реакцию системы на входной сигнал (при условии отсутствия в шумах периодических компонент, связанных с входным сигналом). В общем случае прово­ дится гармонический анализ для выделения отдельных частотных составляющих, с помощью которых строятся диаграммы Боде (за­ висимости амплитуды и фазы передаточной функции от частоты). Выделение отдельных частот путем прямого фурье-анализа — наи­ более общий и простейший метод с аналитической точки зрения. Однако когда отношение сигнал/шум мало для выделения отдельных частот и длительность регистрации коротка для обеспечения удов­ летворительной погрешности, корреляционные методы имеют су­ щественные преимущества.

Метод выделения дискретных частот, описанный в настоящем

•параграфе, был предложен в работе [3]. Рассмотрим, каким образом шумы влияют на обработку данных и вызывают погрешности, завися­ щие от амплитуды сигнала и времени наблюдения, в тех случаях, когда методом гармонического анализа [2] выделяются отдельные час­ тоты (в действительности узкая полоса частот А/). Пусть входной сиг­ нал системы, показанной на рис. 6.4, есть л: (/), а выходной — у (t), причем выходной сигнал состоит из шумового сигнала ш (t) и полез­ ного сигнала v (t), т. е.

Поскольку входной сигнал предполагается периодической функци­ ей, v (t) также будет периодической функцией и функция у (t) мо­ жет быть выражена с помощью разложения функции v (t) в ряд Фурье плюс шумы w (t):

151