Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

При этом предполагается, что шумы не имеют периодических ком­ понент и представляют собой стационарный процесс с нулевым сред­ ним значением. Коэффициенты ряда Фурье ап и Ьп полезного сигнала v (t) есть

Рис. 6.4. Динамическая система с шумами только на выходе системы.

ким образом, величина тР представляет собой длительность ре­ гистрации. Коэффициенты ряда Фурье а'п и Ь'п выходного сигнала у (t) есть

Сравнение уравнений (6.24) — (6.28) показывает, что шумы дают ошибки в коэффициентах за целое число т циклов:

152

Видно, что ошибка зависит от длительности регистрации тР, но не зависит от номера гармоники п.

Вследствие случайного, характера шумов ошибки епт имеют оп­ ределенный разброс. Например, ошибки будут разными для различ­ ны х п в данной регистрации, и это вызывает разброс точек в спектре амплитуд. Если рассматривать большое число величин ет, можно получить функцию плотности вероятностей р (ет ). Вклад в интегралы в соотношениях (6.30) и (6.31) для одного цикла (в этом случае рассматривается i-й цикл для п-й гармоники) есть

где каждое значение еПтимеет свою функцию плотности вероятности

р (ет ) и дисперсию s2 ( О -

Если шумы являются гауссовскими, их дисперсия есть

Поскольку все eni имеют одну и ту же плотность вероятности, не зависящую от t, соотношение (6.34) принимает вид

где индекс т опущен. Следова­ тельно, стандартное отклонение ошибки п-й гармоники есть

(.6.36)

Видно, что стандартное отклоне­ ние обратно пропорционально

корню квадратному из числа циклов, т. е. корню квадратному из дли­ тельности наблюдения. Это показано на рис. 6.5. Поэтому можно сделать'вывод, что ошибка, вызванная шумами, пропорциональна амплитуде сигнала и корню квадратному из длительности наблю­ дения.

153

Для экспериментального определения передаточной функции существует несколько методов, основанных на выделении дискрет­ ных частот. Они отличаются главным образом способом, которым производится фурье-аналнз. После определения коэффициентов ряда Фурье для входного и выходного сигналов находят частотные характеристики из отношения амплитуд и фазового угла. Отноше­ ние амплитуд при частоте /кох есть

и фазовый сдвиг при частоте /гео* равен

где an и bn — коэффициенты при синусах н косинусах для n-й гар­ моники; coj — основная частота (индексы х и у относятся к входному и выходному сигналам соответственно).

§ 6.6. Конечная длительность реализации

Если входной сигнал системы — периодическая функция, пере­ даточная функция системы может быть получена либо прямым гар­ моническим анализом, либо измерением спектральных плотностей входного и выходного сигналов. В любом случае длительность реали­ зации должна быть равна целому числу циклов. Если используются методы измерения спектральных плотностей, частоты, при которых определяются эти плотности, должны быть кратными основной гар­ монике входного сигнала. Можно показать, что автокорреляционная функция периодического сигнала содержит ту же самую периоди­ ческую составляющую с соответствующей амплитудой. При этом в спектральной плотности мощности сигнала содержатся острые пи­ ки.

В работе [2] показано, что если длительность реализации не равна целому числу циклов (периодов), можно получить сущест­ венную ошибку. Если фурье-анализ случайного процесса прово­ дится в течение конечного интервала времени, то этот процесс дол­ жен рассматриваться как периодический с периодом, равным дли­ тельности наблюдения Т. В противном случае можно получить оши­ бочную интерпретацию результатов.

Если анализируемый процесс свободен от внешних шумов, то применение корреляционных методов не имеет преимуществ по сравнению с прямым гармоническим анализом. Однако когда вы­ ходные сигналы содержат шумы (как это бывает на практике), можно получить улучшение, применив сглаживание спектральных плот­ ностей. Сглаживание обычно проводится путем умножения корреля­ ционных функций на «весовую» функцию с последующим фурьепреобразованием модифицированных корреляционных функций. Сглаживание можно применить и к спектральным плотностям в частотной области.

154

Здесь уместно рассмотреть проблемы использования реализаций конечной длины для вычисления корреляционных функций. Опреде­ ления, данные в гл. 4, требуют, чтобы временные функции рассматри­ вались за бесконечно долгое время. Поскольку в действительности это условие невыполнимо, мы получаем только оценку корреляцион­ ной функции. Оценка не может быть сделана для временных сдви­ гов т, больших длительности реализации. Обычно желательно ис­ пользовать временные сдвиги не более некоторой (5— 10%) части от длительности реализации, за исключением случая периодического процесса, где временной сдвиг корреляционной функции может превосходить длительность реализации. Вместо корреляционной функции в общем виде

где Т — длительность регистрации, тт — максимальный временной сдвиг.

§ 6.7. Временные и спектральные «окна»

Концепция временных и спектральных «окон» была развита в работе [4] и затем обобщена Хэннингом [3]. В рассмотрении этого вопроса мы будем следовать работе [3].

Покажем, что оценки спектральных плотностей определяются из некоторой модифицированной корреляционной функции, полу­ ченной путем умножения ср' (т) на окно, которое представляет собой соответствующую четную функцию т. Модифицированная оценоч­ ная корреляционная функция часто является плохой оценкой ис­ тинной корреляционной функции, тогда как фурье-преобразова- ние модифицированной оценочной корреляционной функции в боль­ шинстве случаев может быть очень приемлемой сглаженной оценкой истинной спектральной плотности.

Пусть временное окно w (т) есть четная функция т, удовлетворяю­

Тогда модифицированная оценочная корреляционная функция есть

155

где срХ-у (т) определена только в диапазоне | т | ^ тт, a ср(7/ (т) — для всех т. Поэтому существует фурье-преобразование Ф" (со). Соот­ ношение (6.42) можно переписать следующим образом:

где W (со) — фурье-преобразование временного окна w (т), а звез­ дочка означает операцию свертки. Спектральная плотность Ф' (со) не может быть определена, так как функция ср' (т) не определена для |т | ^ тт . Однако можно показать, что среднее от большего числа функций ср" (т) будет достигать истинной корреляционной функции ср (т), т. е.

дает среднее значение Ф.(7/ (со) как сглаживание истинного спектра

Фху (соа) вблизи частоты а>1с «весами», пропорциональными W (сох—

—со). Таким образом, Ф" (сох) является выражением истинного мощностного спектра, пропущенного через окно W (сох — со). Функция W (со) часто называется спектральным окном, соответст­ вующим временному окну w (т). Каждое временное окно w (т) имеет соответствующее спектральное окно W (со), и их часто называют па­ рой окон. Поскольку выбор временного окна ограничен условия­ ми (6.41), спектральное окно всегда имеет одну основную полосу око­ ло со = О и несколько боковых полос пропускания с уменьшающи­ мися по мере увеличения частоты амплитудами. В общем случае спектральные окна выбираются таким образом, чтобы боковые по­ лосы пропускания имели как можно меньшие амплитуды.

Обычно используются четыре пары окон. Это — «усеченная» оценка, сглаживание по Бартлетту, сглаживание по Хэннингу и сгла­ живание по Хэммингу. Ниже эти временные и спектральные окна обозначены индексами 0, 1, 2, 3 соответственно.

Усеченная оценка. В усеченной оценке корреляционная функция не ослабляется для | т | ^ т т и приравнивается нулю для больших значений т, т. е. временное окно определяется выражением

W = 1,

и соответствующее спектральное окно есть

Э ти окна показаны на рис. 6.6 .

156