Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Сглаживание по Бартлетту. В сглаживании по Бартлетту кор­ реляционная функция ослабляется линейно в интервале |т | ^ тт> т, е. временное окно имеет вид

Рис. 6.6. Временное и спектральное окна для усечен­ ной оценки.

и соответствующее спектральное окно есть

(б'50>

Эти окна для сглаживания по Бартлетту показаны на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Временное и спектральное окна для сглажи­ вания по Бартлетту.

Сглаживание по Хэннингу. Временное окно для сглаживания по Хэннингу определяется выражением

157

где W0 (и) дано соотношением (6.48). Эти окна для сглаживания по Хэннингу показаны на рис. 6.8.

Сглаживание по Хэммингу. Временное окно для сглаживания по Хэммингу определяется выражением вида

Рис. 6.8. Временное и спектральное окна для сглажива­ ния по Хэннингу.

и соответствующее спектральное окно есть

W3(со) = 0,54 W0(со) + 0,23 W0 (со + + 0,23 W0(со - -iLj, (6.54)

где W0 (со) дано формулой (6.48). Эти окна для сглаживания по Хэммингу показаны на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Временное и спектральное окна для сглажива­ ния по Хэммингу.

Из рис. 6.8 и 6.9 видно, что сглаживающие пары «Хэннинг» и «Хэмминг» дают лучшую фильтрацию с минимальным искажением. «Весовая» функция Бартлетта легко применяется во временной об­ ласти и в общем случае обеспечивает удовлетворительное сглажи­ вание. Усеченная оценка обычно не позволяет получить удовлетвори­ тельного сглаживания и приводит к большим флуктуациям.

158

§ 6.8. Анализ спектральной плотности

Структурный описательный анализ спектральной плотности. В работе [5] предложено различать в измерениях спектральных плот­ ностей структурный описательный спектральный анализ и сравни­ тельный спектральный анализ. Целью структурного спектрального анализа является обеспечение высокого разрешения частотных ком­ понент процесса. В этом анализе большее внимание уделяется час­ тотному разрешению, чем статистической точности. Поэтому про­ водится детальное исследование частотного спектра в малых час­ тотных интервалах. Упор на разрешение, а не на точность является особенностью, отличающей структурный спектральный анализ от сравнительного спектрального анализа.

При структурном спектральном анализе выбор интервала наблю­ дения Т определяется низшей частотной компонентой процесса. Практически достаточна выборка, равная трем или четырем перио­ дам низшей частоты, которая нас интересует. Однако очень низкие частоты искажают вычисленный спектр вследствие тренда («плава­ ния» или дрейфа), который может быть определен как вклад частот, меньших 1/2Т, т. е. дрейф относится к тем частотным компонентам х (/), у которых половина периода больше Т. Поскольку спектраль­ ный анализ проводится для стационарных процессов (т. е. средний уровень сигнала не меняется во времени), необходимо до начала спектральных вычислений исключить дрейф. Это можно выполнить подгонкой по экспериментальным данным соответствующей функции методом наименьших квадратов и последующим вычитанием из x(t) расчетных значений. Методы выявления дрейфа и его исключения подробно рассматривались в работе [6].

Разрешение высоких частот — основная цель структурного опи­ сательного спектрального анализа. В этой связи требуется возможно большее число оценок спектральной плотности на выделенном диа­ пазоне частот. Чем больше это число, тем более подробно описы­ ваются пики и пологие участки спектра. Наиболее простой путь выделения числа частотных интервалов m заключается в определе­ нии диапазона частот, в котором измеряется спектральная плот­ ность, а затем в делении этого диапазона на полосы шириной А/. Полосу частот А/ следует выбирать достаточно узкой с тем, чтобы получить по крайней мере три-четыре оценки спектральной плот­ ности в любой области, где ожидается пик спектральной плотности.

Сравнительный анализ спектральной плотности. Описание спект­ ральной плотности с высоким разрешением часто является лишь начальной фазой более точного анализа спектральной плотности

ввыделенном диапазоне частот. Например, необходимо количест­ венно сравнить спектральную плотность мощности на данной часто­ те из двух или более опытов. Такой сравнительный анализ важен,

вчастности, при исследовании динамического поведения в данном частотном диапазоне перед и после изменений компонент (таких, как регулирующая система) ядерных реакторов. Необходимое требование

159

сравнительного спектрального анализа — высокая статистическая достоверность во всех операциях, даже если это приводит к ухуд­ шению структурного разрешения. В действительности требования высокой статистической точности и высокого разрешения частот практически несовместимы.

При реальном спектральном анализе случайного сигнала дли­ тельность реализации конечна, следовательно, мы получаем оценку спектральной плотности. Поскольку параметры случайного процес­ са на конечной длине реализации лишь оцениваются, определить точность спектральных оценок можно только статистически. Дли­ тельность реализации Т и полоса частот А/ (или Дсо)* являются важ­ ными параметрами. Когда А/ уменьшается для улучшения разреше­ ния, доля информации, содержащаяся в реализации, которая исполь­

§ 6.9. Статистические степени свободы

Концепция статистических степеней свободы в спектральном ана­ лизе основывается на математических представлениях характерис­ тик распределения отдельных оценок спектральной плотности [7]. Рассмотрим диапазон частот от —/0 до +/„ (/0 — максимальная ин­ тересующая нас частота) и разделим этот диапазон на m интервалов; Для непрерывной переменной число статистических степеней свобо­ ды на частотный интервал есть (А/Г), где Т — время в секундах, в течение которого проводится измерение, и А/ — полоса частот в герцах, полученная путем деления диапазона частот от —/0 до + / 0 на пг интервалов, т. е.

Для дискретной переменной число степеней свободы на частотный интервал есть N/m, где N — число дискретных точек в измерении.

Чтобы получить надежную оценку спектральной плотности на данной частоте, мы должны сгладить каждую из (m + 1) оценок, ис­ пользуя оценки спектральной плотности в соседних частотах. Если предположить, что истинная спектральная плотность имеет пики, которые шире, чем разрешение А/, то можно показать, что этот процесс сглаживания эквивалентен усреднению каждой оценки по двум из пг частотных полос. Таким образом, каждая сглаженная оценка спектральной плотности имеет около 2Т А/ или 2N/m степе­ ней свободы для непрерывной и дискретной переменных соответ­ ственно. Можно показать, что эффективное среднее число статисти-

* Угловая частота ^ и циклическая частота со связаны соотношением со =

= Ы-

160

ческих степеней свободы k для непрерывной и дискретной перемен­ ных соответственно есть

Практически корректирующий член 3/2 неважен, так как в боль­ шинстве случаев получение приемлемой точности требует большого числа степеней свободы и вычитание этого члена не имеет сущест­ венного значения.

Соотношение между числом статистических степеней свободы и достоверностью параметров спектра основывается на статистичес­ ком распределении спектральных оценок. При определенных пред­ положениях о случайном процессе отношения таких оценок к истин­ ным величинам имеют ^-распределение с k степенями свободы. До­ верительные интервалы каждой спектральной оценки могут быть определены из свойств ^-распределения. Соотношение между сте­ пенями свободы и отклонениями от истинного значения табулировано в стандартных статистических таблицах.

Теоретическая плотность распределения спектральных оценок случайного сигнала с гауссовым распределением амплитуд и оди­ наковой спектральной плотностью в пределах полосы пропускания фильтра является ^-распределением с k степенями свободы. Сле­ довательно, доверительные пределы 1 — а для оценки спектраль­

ной плотности Gxx (со), соответствующей доверительному уровню а, есть

распределения для процентилей а/2 и (1 — а/2), связанных с верх­ ним и нижним доверительными пределами соответственно.

На рис. 6.10 показаны отклонения от истинного значения в за­ висимости от числа степеней свободы для нескольких доверительных пределов [8]. Используя эти данные, можно определить необходимое число степеней свободы в тех случаях, когда нужная достоверность выражается через минимальное и максимальное отношения оценок спектральной плотности к истинным значениям.

Поскольку основная цель сравнительного спектрального анали­ за — сравнение спектральной плотности в нескольких частотных полосах одного или нескольких спектров, целесообразно выделить необходимое число степеней свободы для сравнений с некоторой ста­ тистической достоверностью. Наиболее подходящей для проведения