Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

таких сравнений является классическая таблица значений F, где в данном случае F есть отношение %2-параметров для двух полос час­ тот в предположении, что полосы частот одинаковы. Степени сво­ боды для каждой из двух полос представляют собой соответствующие параметры, связанные с F. Сравнение оценок спектральных плот­ ностей лучше делать при одинаковом числе степеней свободы, хотя это и необязательно.

Таким образом, достаточно определить диагональные члены лю­ бой стандартной таблицы значений F, чтобы найти критические от­ ношения спектральных плотностей с необходимыми довернтель-

Рис. 6.10. Соотношение между числом степеней свободы и отно­ шением оценок спектральной плотности к истинному значению спектральной плотности для нескольких зна­ чений доверительных пределов [8].

ными пределами. В качестве примера в табл. 6.1 указаны диагональ­ ные члены стандартной таблицы F для трех доверительных пределов (по данным работы [5]). Видно, что отношение оценок спектраль­ ных плотностей [Gi (со)/G2 (со)] (Gx (со) > G2 (со)), каждая из которых вычислена с 50 степенями свободы, больше 1,6 для 5% случаев, в то время как истинные спектральные плотности в каждой из двух полос частот одинаковы. Измеренное отношение, превышающее 1,6 с 90%-ным доверительным пределом, может рассматриваться как признак существенной разницы в спектральной плотности. Если выбран 80%-доверительный предел, то критическое отношение рав­ но 1,44 при том же числе степеней свободы. В этом случае сущест­ вует 10%-ная вероятность того, что измеренное отношение, большее 1,44, не представляет истинной разницы в спектральной плотности. Это критическое отношение быстро растет с уменьшением числа

162

степеней свободы. Так, например, при 90%-ном доверительном пре­ деле, когда обе оценки дедаются с 10 степенями свободы, критичес­ кое отношение равно 2,32.

Т аблица 6.1

§ 6.10. Влияние некоррелированных шумов на измерения передаточной функции

Большое влияние оказывают дополнительные шумы входа или выхода на измерение передаточной функции ядерной реакторной системы. Шумы могут возникать при детектировании дискретных событий (шумы детектора) из-за помех, связанных с влиянием элект­ рических систем (особенно в диапазоне промышленной частоты 50 гц), или из-за присутствия других внешних или внутренних не­ коррелированных шумов. Эта общая проблема была проанализиро­ вана в работе [9] и описанный в ней метод рассматривается в этом параграфе.

Шумы на входе и выходе. В наиболее общем случае некоррели­ рованные шумы присутствуют на входе и выходе измерительного устройства (рис. 6.11). Измеряемые входной и выходной сигналы состоят из двух сигналов и (t) и v (t), и двух шумовых компонент т (/) и п (t) соответственно, т. е.

Соотношение (6.63) для взаимной спектральной плотности справед­ ливо для большинства экспериментов, поставленных надлежащим образом. Истинная функция когерентности системы есть

Из соотношения (6.66) ясно, что измеренная в присутствии а (/) или т (t) функция когерентности меньше, чем истинная функция:

Следовательно, присутствие шума на входе или выходе системы ухудшает качество измерений.

Метод взаимной спектральной плотности. Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим измерение амплитуды передаточной функции взаимнокорреляционным методом, т. е.

т. е. истинная амплитуда передаточной функции равна измеренной амплитуде, умноженной на коэффициент, который показывает, что

164

присутствие шумов т (t) на входе системы и измерительного устрой­

шумы, которые могут присутствовать на выходе системы, и требова­ ние несмещенной оценки амплитуды передаточной функции взаимно­ корреляционным методом заключается в том, чтобы на входе систе­ мы отсутствовали шумы т (/).

Для случая, когда шумы присутствуют только в выходном сигна­ ле, истинная функция когерентности, как это видно из соотношения

Оценка функции когерентности может быть несмещенной только в случае, когда шумы, поступающие на устройства, измеряющие входной и выходной сигналы, равны нулю. Как будет показано ниже, точность измерения связана с функцией когерентности, поэтому можно сделать вывод, что присутствие шума в устройстве, измеряю­ щем выходной сигнал системы, не будет смещать оценки передаточ­ ной функции, хотя и неблагоприятно скажется на точности.

б. Т олько входны е ш ум ы . Присутствие шумов в устройстве, изме­ ряющем входной сигнал системы-, будет давать смещенные оценки передаточной функции, а также неблагоприятно влиять на точность. Величина смещения, как видно из соотношения (6.69), прямо про­ порциональна отношению спектральных плотностей шума т (t) и входного сигнала и (t).

Метод спектральных плотностей. Положение существенно хуже при оценках амплитуды передаточной функции методом измерения

Из соотношения (6.72) ясно, что несмещенную оценку амплитуды передаточной функции можно получить из измерения спектраль­ ных плотностей только при отсутствии шумов в устройстве, измеряю­ щем входной и выходной сигналы*. Конечно, величина смещения зависит от соотношения спектральных плотностей шумов п (t),

т(t) и входного сигнала и (/). Часто оценки амплитуды передаточ­

*Исключение представляет система с передаточной функцией первого порядка.

165

ной функции получают измерением спектральных плотностей, а влиянием шумов т (() и п (t) пренебрегают. В этом случае присутст­ вие шумов т (t) дает заниженную оценку амплитуды передаточной функции, тогда как присутствие шумов п (() приводит к завышенной оценке. Несмотря на то, что смещение, обусловленное шумами на входе измерительного устройства, стремятся скомпенсировать на вы­ ходе измерительного устройства, истинная оценка в конечном ре­ зультате получается довольно редко.

Шумы только на входе или только на выходе. Если шумы при­ сутствуют только в измерениях входного сигнала или только вы­ ходного, можно получить выражения для коррекции смещения, ко­ торое обсуждалось выше, в зависимости от измеряемой функции ко­ герентности уху (со). Вначале рассмотрим случай, когда шумы при­ сутствуют только при измерениях входного сигнала. Из определе­ ния функции когерентности и соотношений между спектральными плотностями входного и выходного сигналов получим

Си» (со) | Н (со) |2

(6.73)

Glx (со)

откуда можно получить квадрат истинной амплитуды передаточ­ ной функции:

После упрощения выражения (6.74) с помощью равенства (6.66)

Легко показать, что истинная амплитуда передаточной функции, измеренной методом взаимной корреляции, в случае наличия шумов только во входном сигнале дается выражением

166

Если шумы присутствуют только при измерениях выходного сигна­ ла, соотношение (6.74) переходит в формулу

на которую не накладывается ограничение (6.76). Как указывалось выше, при измерении взаимной спектральной плотности оценка ам­ плитуды передаточной функции является несмещенной, т. е.

Ясно, что присутствие шума входного сигнала больше влияет на оценку такого параметра, как функция когерентности и точность, чем присутствие шума при измерении выходного сигнала.

§ 6.11. Точность измерений передаточной функции*

Передаточная функция физической системы, определенная путем анализа случайного входного и выходного сигналов, представляет собой лишь приближение истинной передаточной функции, так как измеренные спектральная и взаимная спектральная плотности яв­ ляются только оценками истинных значений. Можно определить статистическую точность этих экспериментальных оценок.

Когерентность у%у (со) дает прямое указание на погрешность

в оценке Я (со), вызванную шумами. Если значение у*,, (со) мало, Доля полной мощности в ответном сигнале у (t), обусловленная вход­

ным сигналом х (t), мала и величина Я (со) может быть получена с существенной погрешностью. И наоборот, значение yly (со), близкое к единице, указывает на большую надежность оценки. Таким обра­ зом, анализ, основанный на статистических представлениях, тре­ бует определения точности экспериментальной оценки передаточной функции.

Исследование погрешностей, связанных с измерениями переда­ точной функции, было проведено Гудменом [10]. Первый разработан­ ный им метод основывался на предположении, что измерение дает несмещенную оценку с дисперсией около истинного значения. Стро­ го говоря, это несправедливо для оценки погрешностей, связанных с экспериментальными данными, хотя и часто используется с этой целью. Рассмотрим передаточную функцию, полученную методом измерения взаимной спектральной плотности, т. е.

* Эта часть основывается на работе [10]. Подробный анализ дан Беидатом и Пирсолом [11].

167