Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

можно получить сигналы в рассматриваемом диапазоне частот, амп­ литуда которых в любой точке не превышает заданного уровня. Кроме того, большинство псевдослучайных переменных представляет собой функцию, значения которой быстро изменяются от одного уровня к другому с последующей задержкой на этих частных уров­ нях, т. е. являются прямоугольной волной, в которой продолжитель­ ности дискретных уровней варьируют в относительно широком диа­ пазоне. Такая входная функция легко осуществима в большинстве встречающихся на практике систем.

Периодические импульсы. Поскольку большинство псевдослу­ чайных сигналов имеют прямоугольную форму, рассмотрим серию прямоугольных импульсов в качестве входной функции системы. Для

оценки динамических характеристик этой системы должна быть составлена взаимная корреляционная функция выходного сигнала с входной функцией. Рассмотрим серию периодических импульсов, показанных на рис. 9.2, а. Ширина импульса равна ш, период—Р. Серия построена таким образом, что площадь импульсов над гори­ зонтальной осью равна площади под горизонтальной осью между импульсами; скважность импульсов определяется как

Автокорреляционная функция этой переменной получена авто­ ром работы [1] и, как показано на рис. 9.2, в, представляет собой ряд треугольников с периодом Р, таким же, что и у периодических импульсов. Максимальное значение автокорреляционной функции равно 6S2 (1 — Ь), ширина треугольника 2w. Кроме того, автокорре­ ляционная функция между двумя треугольниками отрицательна и ее величина равна bwS2 (1 — b). Очевидно, что автокорреляцион­ ная функция имеет сходство с импульсной функцией, или дельта­ функцией Дирака, только если ширина треугольника 2т достаточ­ но мала, а значения функции между пиками (часто называемые бо­ ковыми полосами) малы. Кроме того, пики автокорреляционной

232

рассматривать только один пик. Это означает, что период входной переменной х (/) и, следовательно, автокорреляционной функции должен быть больше, чем время, требуемое для спада до нуля или равновесного значения импульсной переходной функции. При рас­ смотрении системы с запаздыванием первого порядка, импульсная переходная функция которой является экспоненциальной, т. е.

где 1 /а — постоянная времени системы. К сожалению, высокая разрешающая способность, даваемая соотношением (9.8), приоб­ ретается ценой низкой статистической точности из-за больших периодов, требуемых для исключения частично перекрывающихся характеристик последовательных импульсов. Для рассматриваемого случая взаимная корреляционная функция между входным сигна­ лом, представляющим собой серию периодических импульсов, и вы­ ходным сигналом имеет вид:

где Ь — скважность возмущающих импульсов. Эта процедура позволяет непосредственно измерять импульсную переходную функ­ цию и является реальным методом, используемым в традиционных импульсных нейтронных экспериментах, в которых многоканальный временной анализатор играет роль взаимного коррелятора.

Случайные импульсы. Если теперь предположить, что импульсы, показанные на рис. 9.2, а, возникают со случайными, а не с перио­ дическими интервалами при средней скорости импульсов т, как показано на рис. 9.3, а,, то результирующая автокорреляционная функция, полученная в работе [1], будет иметь вид, показанный на рис. 9.3, б. Она очень похожа на автокорреляционную функцию на рис. 9.2, б за исключением того, что имеется только один тре.-

233

угольник вместо многих и отсутствуют боковые полосы. Поскольку переменная не является более периодической, то ограничения, даваемые соотношением (9.7), отсутствуют и остаются лишь ограни­ чения соотношения (9.8). Взаимная корреляция между входной функцией (в данном случае серией случайно расположенных диск­ ретных импульсов) и выходной функцией дается уравнением (9.10), таким же, как и для периодических импульсов. На практике может

Рис. 9.4. Случайная прямоугольная волна (средняя скорость нулевых значений равна £ значе­ ний в секунду) [1].

оказаться желательным свести до минимума вероятность того, что два импульса будут перекрываться. Это достигается при условии, что скважность импульсов очень мала, т. е.

Случайная прямоугольная волна. На рис. 9.4, а показана еще одна случайная волна с импульсами прямоугольной формы, в ко­ торой нулевые значения (моменты пересечения оси абсцисс) удалены друг от друга на случайные интервалы согласно закону распределе­ ния Пуассона со средней скоростью £ нулевых значений в секунду. Ее автокорреляционная функция приведена на рис. 9.4, б. Для высокой временной разрешающей способности необходимо, чтобы

Автокорреляционная функция, показанная на рис. 9.46, опре­ деляется выражением

и, следовательно, взаимная корреляционная функция между вход­ ным и выходным сигналами равна

Псевдослучайные прямоугольные волны. По многим практи­ ческим причинам часто желательно аппроксимировать случайную

234

прямоугольную волну, приведенную на рис. 9.4, а, псевдослучай­ ной прямоугольной последовательностью, т. е. прямоугольной волной, которая казалась бы случайной, но не являлась такой. Та­ кая форма волны показана на рис. 9.5, а, где нулевые значения могут иметь место только в моменты, кратные некоторому элемен­ тарному интервалу А сек. Вероятность появления нулевого значе-

Рис. 9.5. Псевдослучайная прямоугольная волна (средняя скорость пересечения нулевой линии равна Д/2) [1].

ния в конце каждого интервала примерно 1/2, и автокорреляционная функция для этого случая представлена на рис. 9.5, б. Требование высокой разрешающей способности выглядит как

Взаимная корреляция между входным и выходным сигналами в этом случае дается выражением

Псевдослучайная двоичная периодическая переменная. Четыре рассмотренных выше прямоугольных входных сигнала могут быть использованы для получения информации о поведении системы во времени. В каждом случае имеется параметр, связанный с возмуще­ нием, который определяет временную разрешающую способность, полученную в данном измерении. Вообще этот параметр должен быть фиксированным, чтобы обеспечить равную разрешающую способ­ ность. Например, если импульсы или прямоугольные волны округ­ ляются из-за конечного времени нарастания и спада в генераторе импульсов, эти эффекты будут несущественны при условии, что их временной масштаб мал по сравнению с постоянной времени системы 1/а. Преимущество прямоугольной волны состоит в том, что имеется множество физических систем, которые могут быть легко возбуждены таким образом. Кроме того, удобство псевдослучайной прямоуголь­ ной волны состоит в доступности приборов, которые необходимы для измерений взаимной корреляции, поскольку нулевые значения имеют место только при временах, кратных основному временному интервалу Д. Если псевдослучайная переменная является периоди­

235

ческой, то можно синхронизировать входную функцию с каналами многоканального временного анализатора, который обычно исполь­ зуется для измерений в реакторных экспериментах. Если перемен­ ная непериодическая, она имеет очень небольшие (если они вообще есть) практические преимущества перед формой волны, показанной на рис. 9.4, а.

На рис. 9.5, б приведена автокорреляционная функция псевдо­ случайной переменной с постоянными боковыми полосами; она будет периодической с периодом Р, если псевдослучайная прямоугольная волна является периодической. Такое условие выполняется для трех общих типов псевдослучайных переменных. Первый тип — макси­ мальная последовательность линейного регистра сдвига, второй — последовательность остатков квадрата (оба типа подробно описаны ниже). Третий тип — последовательность сдвоенных простых чисел, описанная Голомбом и др. [2] (здесь не рассматривается).

Другая важная характеристика различных сигналов — функция спектральной плотности мощности. Если переменная периодиче­

моугольных волн, спектральная плотность мощности представляет серию дискретных импульсов (линейчатый спектр), равноудаленных друг от друга на интервал, равный основной частоте Д. С другой стороны, если входная переменная является случайной, как напри­ мер, случайные импульсы на рис. 9.3, а или случайная прямоуголь­ ная волна на рис. 9.4, а, то спектральная плотность мощности пред­ ставляет собой непрерывную функцию. Если автокорреляционная функция имеет треугольную форму, как в случаях, приведенных на рис. 9.2,6, 9.36, 9.56, спектральная плотность мощности (или ее огибающая, если спектр дискретный) пропорциональна функции следующего вида:

где А — функция со, которая зависит от формы волны, а К — кон­ станта. На рис. 9.6 графически показано уравнение (9.17). Для автокорреляционной функции экспоненциальной формы, представ­ ленной на рис. 9.4, б, спектральная плотность мощности описыва­ ется уравнением

показанным на рис. 9.7; здесь | — число нулевых значений в секунду. Псевдослучайная переменная может быть определена как пере­ менная, которая детерминирована по своей природе, но с любой разумной степенью аппроксимации схожа со случайной переменной. Вообще это означает, что псевдослучайная переменная является по своему характеру периодической, хотя могут быть и исключения. Двоичные сигналы обычно определяются как сигналы, которые могут принимать только два значения при чрезвычайно быстром пере­

236

ходе, между этими двумя значениями. Случайная телеграфная вол­ на, показанная на рис. 9.4, а, в которой сигналы изменяются от одного значения до другого со случайными интервалами, — хороший пример случайной двоичной переменной, так как время, при котором переменная переходит от одного уровня к другому, определяется тем или иным случайным процессом (например, распа­ дом радиоактивного источника или эмиссией электронов в термо­ ионном диоде, или нулевым значением генератора случайных шумов).

Использование псевдослучайных переменных в измерениях па­ раметров системы — относительно новый метод, который был широко разработан в ядерных исследованиях [3—7]. Псевдослучайная

переменная обычно может рассматриваться как детерминированная переменная, как правило, периодическая, статистические характе­ ристики которой при хорошей аппроксимации эквивалентны ха­ рактеристикам истинно случайной переменной. Доводом в пользу использования псевдослучайных переменных является трудность генерации истинно случайной переменной и подачи ее на вход физи­ ческой системы, в то время как генерация псевдослучайных сигналов и их применение относительно просты. Например, типичный гене­ ратор белых шумов использует свойство диода или радиоактивного источника давать на выходе случайный сигнал. Можно оценить среднеквадратическое отклонение этой переменной от среднего зна­ чения, но нельзя точно предсказать максимальное значение, которое будет иметь место в течение заданного временного интервала. Если усиление на входе системы отрегулировано для установки ожидае­ мого максимального значения, имеется большая вероятность, что амплитуда большинства флуктуаций будет слишком мала, чтобы эффективно возмущать исследуемую систему. Сдругой стороны, если усиление достаточно велико, чтобы большинство случайных сигна­ лов вносили эффективное возмущение, то максимальные сигналы,

237

которые появляются время от времени, могут вывести систему в нелинейный режим или в режим ограничения или насыщения.

Типичным псевдослучайным сигналом является двоичный (с дву­ мя уровнями) периодический сигнал, амплитуда которого известна точно, а переход от одного состояния к другому происходит при вре­ мени, кратном основному временному интервалу А. Частотный сос­ тав этого сигнала определяется выбором периода и задающей частоты, которая численно равна 1/Д. Таким образом, псевдослучайный сиг­ нал может быть легко получен, отвечая любым заданным требова­ ниям.

Поскольку псевдослучайная переменная является периоди­ ческой и детерминированной, она может быть использована в изме­ рительных системах, в которых производится обычный гармони­ ческий анализ входной и выходной функций системы. Однако обыч­ но можно многое выбирать обработкой псевдослучайных перемен­ ных как частного случая случайных переменных. Возникает боль­ шое число ситуаций, в которых использование псевдослучайной переменной в качестве входной функции системы имеет определен­ ные преимущества перед использованием чисто случайных или обычных детерминированных сигналов.

§ 9.3. Максимальная последовательность линейного регистра сдвига (/п-последовательность)

В значительном большинстве обычно применяемых методов гене­ рации псевдослучайных двоичных периодических сигналов исполь­ зуется регистр сдвига с соответствующими обратными связями, дающий так называемую максимальную последовательность линей­ ного регистра сдвига, или просто m-последовательность. Регистр

238