Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Построение обратной связи, необходимое для генерирования последовательности максимальной длины, было рассмотрено для широкого диапазона последовательностей. В некоторых случаях мо­ гут быть использованы несколько различных обратных связей, в других случаях может оказаться необходимым применять несколь­ ко полусумматоров для генерирования последовательности. В табл. 9.3 приведены обратные связи, которые требуют наличия только одного полусумматора для генерирования последователь­ ностей с количеством разрядов р до 33.

Одна из схем, не включенная в табл. 9.3, но весьма полезная в экспериментах с ядерными системами, состоит из 8-разрядного регистра сдвига, дающего последовательность с максимальной дли-

Сддиг

Рис. 9.10. Восьмиразрядный регистр сдвига.

ной 255Д временных интервалов. Она не представлена в табл. 9.3, поскольку не может быть выполнена с одной обратной связью. Одна из возможных схем для генерации такой последовательности представлена на рис. 9.10. Матрица для этой конфигурации имеет вид:

Схемы с 12-, 13-, 14-, 16- и 19-разрядными регистрами сдвига возможны, однако они требуют более одного сумматора по модулю 2. 17- и 20-разрядные генераторы, использующие только один полу­ сумматор, обычно столь же полезны, как и 16- и 19-разрядные регистры сдвига, которые работают с несколькими полусуммато­ рами. 8-разрядный регистр сдвига упомянут здесь потому, что он очень удобен при проведении экспериментов на ядерных системах,

243

в которых информация в виде импульсов от детекторов накапли­ вается в многоканальном анализаторе, имеющем 256 каналов, или в которых проводятся 2 или 4 выборки на каждый сдвиг соответст­ венно в 512или 1024-канальных временных анализаторах.

Автокорреляционная функция m-последовательности. Одно из наиболее важных свойств максимальной последовательности регист­ ра сдвига состоит в том, что ее автокорреляционная функция до­ статочно близка к дельта-функции, а боковые полосы постоянны. Это постоянство позволяет учесть корреляцию боковых полос, если это оправдано условиями эксперимента. Автокорреляционная функция получена скорее путем рассуждений, чем математическим путем. Рассмотрим р-разрядный регистр сдвига с одной обратной связью, который генерирует максимальную последовательность (m-последовательность), имеющую период ZA, где Z определено уравнением (9.19)'. Поскольку каждый разряд регистра сдвига просто пересылает входной сигнал от предыдущего разряда, выход­ ные сигналы любых двух разрядов одинаковы, за исключением того что один выходной сигнал сдвинут на М , где k — число разрядов между двумя выходными функциями. Воспользовавшись свойством сдвига и суммирования m-последовательности, получим, что выход­ ной сигнал полусумматора, который подается на вход регистра

.244

сдвига и, следовательно, на выходы всех разрядов, является также /п-последовательностью.

Если положить, что в псевдослучайной переменной два уровня /«-последовательности равны +1 и —1, среднее значение перемен­ ной будет равно± 1/Z, причем знак определяется тем, какой уровень имеет больший временной интервал. Например, последовательность со 127 сдвигами с 63 положительными интервалами и 64 отрицатель­ ными интервалами имеет среднее значение— 1/127. Если среднее значение принять равным нулю, значения двух уровней в этом при­ мере должны быть равны +128/127 и —126/127.

Для иллюстрации автокорреляционной функции рассмотрим /«-последовательность с уровнями +1 и —1. Автокорреляционная функция имеет вид:

где xt — значение /«-последовательности на г'-м интервале. Так как

функции с помощью уравнения (9.24), когда xt и xi+h имеют значения +1 или —1, ока­

зывается такой же, как и суммирование по^модулю 2 двух последо­ вательностей, которые сдвинуты на АД по отношению друг к другу. Поскольку результатом сдвига и суммирования является другая последовательность, у которой число интервалов одного уровня пре­ вышает число интервалов другого уровня на единицу, то число ин­ тервалов, в которых xt и xi+k имеют одинаковый знак, на единицу меньше, чем число интервалов, имеющих различные знаки. Тогда уравнение (9.24) принимает вид:

и xi+h идентичны. Если'придать А нецелочисленные значения в пре­ делах < Д из А = О, Z, 2Z, .... то фжя. (АД) оказывается линейной

комбинацией двух значений 1 и —1/Z. Следовательно, автокорреля­ ция m-последовательности описывается выражением

' ф * * ( т ) = 1 — ^ - М - ' ( 0 < |т |< Д ) ;

Ф * * ( т ) = - у , ( 0 < | t | < ( Z - 1 ) A ) . ( 9 . 2 6 )

Поскольку псевдослучайная последовательность является перио­ дической с периодом ZA, автокорреляционная функция также по­ вторяется с периодом ZA. Автокорреляционная функция псевдо­ случайной двоичной переменной показана на рис. 9.11*.

Рис. 9.11. Автокорреляционная функция псевдослучайной двоич­ ной переменной.

Основное требование в отношении длины последовательности регистра сдвига состоит в том, чтобы период Z был достаточно боль­ шим и последовательные пики автокорреляционной функции не препятствовали свертыванию автокорреляционной функции с им­ пульсной переходной функцией. Это означает, что период должен быть больше, чем время, необходимое для затухания импульсной переходной функции до нуля. Применение 20или 25-разрядных регистров сдвига для получения очень больших периодов приводит к тому, что боковые полосы —1/Z становятся крайне малыми. Однако их присутствие необходимо при обработке информации для целого числа циклов, если используется специфическое свойство псевдослучайных двоичных последовательностей — свойство по-' стоянства боковых полос. Все это требует обработки огромного количества информации. Однако по разным причинам многие ис­ следователи предпочитают обрабатывать не целое число циклов, а не­ большую часть длинного цикла для многих циклов. В некоторых

* Если амплитуды двух уровней псевдослучайной двоичной последо­ вательности равны + А и —А, то правую часть уравнений (9.26) следует ум­ ножить на А2.

246

случаях количество получаемой информации при этом оказывается настолько ограниченным, что потеря информации, связанная с рассмотрением целого числа циклов, была бы недопустимой. В дру­ гих случаях используются очень длинные последовательности, по­ тому что величина боковых полос мала и ими можно пренебречь, не вводя какой-либо значительной ошибки. Вообще можно сказать, что отказ от целого числа циклов приводит .к отклонению боковых полос от идеала, показанного на рис. 9.11, но это отклонение уменьшается при увеличении числа циклов. Если при обработке информации рассматривается только часть одного цикла, ошибка гораздо больше, чем при использовании значительного, но не цело­ го количества циклов.

Спектральная плотность мощности m-последовательности*. Из теоремы Винера—Хинчина известно, что спектральная плотность мощности функции представляет собой преобразование Фурье ав­

Поскольку фя:с (т) — периодическая величина с периодом Р, воз­ можно комплексное представление ряда Фурье для автокорреля­ ционной функции:

Порядок интегрирования и суммирования можно изменить, так как ряд Фурье для автокорреляционной функции сходится равномерно:

* Этот метод в основном аналогичен методу, использованному Хэмптоном

112].

247

представляет собой преобразование Фурье автокорреляционной функции, определенное на интервале в один период. Подстановка уравнения (9.26) в уравнение (9.34) в интервале от —Р/2 до + Р /2 дает:

Подставив это уравнение в уравнение (9.33), получим:

Я — — ОО

248